Narysuj wykres funkcji y=f(x). Odczytaj z wykresu...- Zadanie 11.7: Prosto do matury 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

Rozwiązanie

$a) f (x) = {x^{2} + 4 x + 2 dla x < 0 - x^{2} + 4 x dla x \geq 0$

Oznaczmy:

$g (x) = x^{2} + 4 x + 2$

$D_{g} = (- \infty, 0)$

$h (x) = - x^{2} + 4 x$

$D_{h} = ⟨ 0, + \infty)$

Przekształcamy wzory funkcji g i h do postaci kanonicznej:

$g (x) = x^{2} + 4 x + 2 = x^{2} + 4 x + 4 - 2 = (x + 2)^{2} - 2$

$h (x) = - x^{2} + 4 x = - (x^{2} - 4 x) = - (x^{2} - 4 x + 4 - 4) = - (x^{2} - 4 x + 4) + 4 = - (x - 2)^{2} + 4$

Odczytujemy współrzędne wierzchołków parabol g i h:

$W_{g} = (- 2, - 2)$

$W_{h} = (2, 4)$

Wyznaczamy kilka punktów należących do wykresów funkcji g i h:

$g (0) = 4 - 2 = 2$

$g (2) = 8 - 2 = 6$

$g (- 4) = 8 - 2 = 6$

$h (0) = - 4 + 4 = 0$

$h (1) = - 1 + 4 = 3$

$h (3) = - 1 + 4 = 3$

Rysujemy wykresy funkcji g i h w całym zbiorze liczb rzeczywistych.

Wykresy funkcji g i h w swoich dziedzinach tworzą wykres funkcji f:

Z wykresu odczytujemy, że równanie f(x)=m:

ma jedno rozwiązanie dla m ∈ (-∞, -2) ∪ (4,+∞),
ma dwa rozwiązania dla m ∈ {-2, 4},
ma trzy rozwiązania dla m ∈ (-2, 0) ∪ <2, 4),
ma cztery rozwiązania dla m ∈ <0, 2).

$b) f (x) = {- 3 x^{2} - 18 x - 21 dla x \leq - 2 \frac{1}{2} x + 4 dla x > - 2$

Oznaczmy:

$g (x) = - 3 x^{2} - 18 x - 21$

$D_{g} = (- \infty, - 2 ⟩$

$h (x) = \frac{1}{2} x + 4$

$D_{h} = (- 2, + \infty)$

Przekształcamy wzór funkcji g do postaci kanonicznej:

$g (x) = - 3 x^{2} - 18 x - 21 = - 3 (x^{2} + 6 x + 7) = - 3 (x^{2} + 6 x + 9 - 2) = - 3 (x^{2} + 6 x + 9) + 6 = - 3 (x + 3)^{2} + 6$

Odczytujemy współrzędne wierzchołka paraboli g:

$W_{g} = (- 3, 6)$

Wyznaczamy kilka punktów należących do wykresów funkcji g i h:

$g (- 2) = - 3 + 6 = 3$

$g (- 4) = - 3 + 6 = 3$

$h (0) = 4$

$h (4) = 6$

Rysujemy wykresy funkcji g i h w całym zbiorze liczb rzeczywistych.

Wykresy funkcji g i h w swoich dziedzinach tworzą wykres funkcji f:

Z wykresu odczytujemy, że równanie f(x)=m:

ma jedno rozwiązanie dla m ∈ (-∞, 3) ∪ (6,+∞),
ma dwa rozwiązania dla m ∈ {3, 6},
ma trzy rozwiązania dla m ∈ <3, 6>.

$c) f (x) = {2 x^{2} - 4 x + 4 dla x \in (- \infty, 0) \cup (2, + \infty) - 2 x^{2} + 4 x + 4 dla x \in ⟨ 0, 2 ⟩$

Oznaczmy:

$g (x) = 2 x^{2} - 4 x + 4$

$D_{g} = x \in (- \infty, 0) \cup (2, + \infty)$

$h (x) = - 2 x^{2} + 4 x + 4$

$D_{h} = ⟨ 0, 2 ⟩$

Przekształcamy wzory funkcji g i h do postaci kanonicznej:

$g (x) = 2 x^{2} - 4 x + 4 = 2 (x^{2} - 2 x + 2) = 2 (x^{2} - 2 x + 1 + 1) = 2 (x^{2} - 2 x + 1) + 2 = 2 (x - 1)^{2} + 2$

$h (x) = - 2 x^{2} + 4 x + 4 = - 2 (x^{2} - 2 x - 2) = - 2 (x^{2} - 2 x + 1 - 3) = - 2 (x^{2} - 2 x + 1) + 6 = - 2 (x - 1)^{2} + 6$

Odczytujemy współrzędne wierzchołków parabol g i h:

$W_{g} = (1, 2)$

$W_{h} = (1, 6)$

Wyznaczamy kilka punktów należących do wykresów funkcji g i h:

$g (0) = 2 + 2 = 4$

$g (2) = 2 + 2 = 4$

$h (0) = - 2 + 6 = 4$

$h (2) = - 2 + 6 = 4$

$h (3) = - 2 \cdot 4 + 6 = - 8 + 6 = - 2$

Rysujemy wykresy funkcji g i h w całym zbiorze liczb rzeczywistych.

Wykresy funkcji g i h w swoich dziedzinach tworzą wykres funkcji f:

Z wykresu odczytujemy, że równanie f(x)=m:

nie ma rozwiązań dla m ∈ (-∞, 4),
ma dwa rozwiązania dla m ∈ {4} ∪ (6,+∞),
ma trzy rozwiązania dla m=6,
ma cztery rozwiązania dla m ∈ (4, 6).

$d) f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ - x^{2} - 4 x - 3 dla x \leq - 1 2 x + 2 dla - 1 < x < 1 3 x^{2} - 12 x + 13 dla x \geq 1$

Oznaczmy:

$g (x) = - x^{2} - 4 x - 3$

$D_{g} = (- \infty, - 1 ⟩$

$p (x) = 2 x + 2$

$D_{p} = (- 1, 1)$

$h (x) = 3 x^{2} - 12 x + 13$

$D_{h} = ⟨ 1, + \infty)$

Przekształcamy wzory funkcji g i h do postaci kanonicznej:

$g (x) = - x^{2} - 4 x - 3 = - (x^{2} + 4 x + 3) = - (x^{2} + 4 x + 4 - 1) = - (x^{2} + 4 x + 4) + 1 = - (x + 2)^{2} + 1$

$h (x) = 3 x^{2} - 12 x + 13 = 3 (x^{2} - 4 x) + 13 = 3 (x^{2} - 4 x + 4 - 4) + 13 = 3 (x^{2} - 4 x + 4) - 12 + 13 = 3 (x - 2)^{2} + 1$

Odczytujemy współrzędne wierzchołków parabol g i h:

$W_{g} = (- 2, 1)$

$W_{h} = (2, 1)$

Wyznaczamy kilka punktów należących do wykresów funkcji g, h i p:

$g (0) = - 4 + 1 = - 3$

$g (- 1) = - 1 + 1 = 0$

$g (- 3) = - 1 + 1 = 0$

$p (0) = 2$

$p (- 1) = 0$

$h (1) = 3 + 1 = 4$

$h (3) = 3 + 1 = 4$

Rysujemy wykresy funkcji g, h i p w całym zbiorze liczb rzeczywistych.

Wykresy funkcji g, h i p w swoich dziedzinach tworzą wykres funkcji f:

Z wykresu odczytujemy, że równanie f(x)=m:

ma jedno rozwiązanie dla m ∈ (-∞, 0) ∪ (4,+∞),
ma dwa rozwiązania dla m ∈ {0, 4},
ma trzy rozwiązania dla m ∈ (0, 4).

Dagmara Kowalczuk

Nauczycielka matematyki

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.