Samochód w ciągu pierwszej sekundy przejechał 20 km. W ciągu kolejnej przebył tylko ³/₄ odległości przebytej w pierwszej sekundzie, czyli:

${\sout{20}}^5\cdot \frac{3}{{\sout{4}}^1}=5\cdot 3=15\left[\text{m}\right]$  

W ciągu kolejnej sekundy przebył znowu ³/₄ odległości przebytej w drugiej sekundzie hamowania, czyli:

$15\cdot \frac{3}{4}=\frac{45}{4}=11\frac{1}{4}\left[\text{m}\right]$  

Odległości, które przejeżdżał samochód w kolejnych sekundach tworzą nam ciąg geometryczny taki, że:

$a_1=20$  

$a_2=15$  

$a_3=11\frac{1}{4}$  

$...$  

Iloraz ciągu to:

$q=\frac{3}{4}$  

 

Żeby obliczyć odległość, którą przejechał samochód w pierwszych 10 sekundach, musimy obliczyć sumę dziesięciu pierwszych wyrazów powyższego ciągu geometrycznego. Zatem:

$a_1=20,q=\frac{3}{4},n=10$  

Przypomnijmy wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego:

$S_n=a_1\cdot \frac{1-q^n}{1-q}$  

 

Podstawmy znane nam wartości:

$S_{10}=20\cdot \frac{1-{\left(\frac{3}{4}\right)}^{10}}{1-\frac{3}{4}}=20\cdot \left(1-{\left(\frac{3}{4}\right)}^{10}\right)\cdot 4=80\cdot \left(1-{\left(\frac{3}{4}\right)}^{10}\right)$

 

Przekształćmy wyrażenie w nawiasie:

$1-{\left(\frac{3}{4}\right)}^{10}=1^2-{\left(\frac{3}{4}\right)}^{5\cdot 2}=1^2-{\left({\left(\frac{3}{4}\right)}^5\right)}^2=\left(1-{\left(\frac{3}{4}\right)}^5\right)\left(1+{\left(\frac{3}{4}\right)}^5\right)=\left(1-\frac{243}{1024}\right)\left(1+\frac{243}{1024}\right)=\frac{781}{1024}\cdot \frac{1267}{1024}$   

 

W przybliżeniu:

$80\cdot \frac{781}{1024}\cdot \frac{1267}{1024}\approx 75,49\approx 75,5\left[\text{m}\right]$  

 

Odpowiedź: Samochód w ciągu pierwszych 10 sekund hamowania przejechał około 75,5 metra.