Suma $n$  początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego $\left(a_n\right)$  wyraża się wzorem

$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$ .

Przypomnijmy wzór ogólny ciągu arytmetycznego $\left(a_n\right)$  

$a_n=a_1+\left(n-1\right)\cdot r$ .

 

$a)$    $S_n=279$

$\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n=279$

$\frac{a_1+\left(a_1+\left(n-1\right)\cdot r\right)}{2}\cdot n=279$

$\frac{-10+\left(-10+\left(n-1\right)\cdot 3\right)}{2}\cdot n=279$

$\frac{-10-10+3n-3}{2}\cdot n=279$  

$\frac{3n-23}{2}\cdot n=279\mid \cdot 2$

$\left(3n-23\right)\cdot n=558$

$3n^2-23n=558\mid -558$

$3n^2-23n-558=0$

$\Delta ={\left(-23\right)}^2-4\cdot 3\cdot \left(-558\right)=529+6696=7225$  

$n_1=\frac{-\left(-23\right)-\sqrt{7225}}{2\cdot 3}=\frac{23-85}{6}=\frac{-62}{6}=-10\frac{2}{6}=-10\frac{1}{3}\notin \mathbb{N}$  

$n_2=\frac{-\left(-23\right)+\sqrt{7225}}{2\cdot 3}=\frac{23+85}{6}=\frac{108}{6}=18$ .

$S_n=279$  dla $n=18$  .

---

$b)$    $S_n=540$

$\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n=540$

$\frac{a_1+\left(a_1+\left(n-1\right)\cdot r\right)}{2}\cdot n=540$

$\frac{-10+\left(-10+\left(n-1\right)\cdot 3\right)}{2}\cdot n=540$

$\frac{-10-10+3n-3}{2}\cdot n=540$

$\frac{3n-23}{2}\cdot n=540\mid \cdot 2$

$\left(3n-23\right)\cdot n=1080$

$3n^2-23n=1080\mid -1080$

$3n^2-23n-1080=0$

$\Delta ={\left(-23\right)}^2-4\cdot 3\cdot \left(-1080\right)=529+12960=13489$  

$n_1=\frac{-\left(-23\right)-\sqrt{13489}}{2\cdot 3}=\frac{23-\sqrt{13489}}{6}\notin \mathbb{N}$  

$n_2=\frac{-\left(-23\right)+\sqrt{13489}}{2\cdot 3}=\frac{23+\sqrt{13489}}{6}\notin \mathbb{N}$ .