$a)$    Zaczynamy od wyznaczenia $c_n$  

$c_n=a_n+b_n={\left(n+1\right)}^2+1-n^2=n^2+2n+1+1-n^2=2n+2$ .

Następnie wyznaczamy  $c_{n+1}$  

$c_{n+1}=2\left(n+1\right)+2=2n+2+2=2n+4$

Sprawdzamy, czy ciąg $\left(c_n\right)$  jest arytmetyczny

$c_{n+1}-c_n=2n+4-\left(2n+2\right)=2n+4-2n-2=2$ .

Różnica między sąsiednimi wyrazami jest stała, więc ciąg $\left(c_n\right)$  jest arytmetyczny.

---

$b)$    Zaczynamy od wyznaczenia $c_n$  

$c_n=a_n+b_n=n^2+3n-1+\left(1-n\right)\left(2+n\right)=$

$=n^2+3n-1+2+n-2n-n^2=2n+1$ .

Następnie wyznaczamy  $c_{n+1}$  

$c_{n+1}=2\left(n+1\right)+1=2n+2+1=2n+3$ .

Sprawdzamy, czy ciąg $\left(c_n\right)$  jest arytmetyczny

$c_{n+1}-c_n=2n+3-\left(2n+1\right)=2n+3-2n-1=2$ .

Różnica między sąsiednimi wyrazami jest stała, więc ciąg $\left(c_n\right)$  jest arytmetyczny.

---

$c)$    Zaczynamy od wyznaczenia $c_n$  

$c_n=a_n+b_n={\left(n+2\right)}^2+n^2-2=n^2+4n+4+n^2-2=$

$=2n^2+4n+2$ .

Następnie wyznaczamy  $c_{n+1}$  

$c_{n+1}=2{\left(n+1\right)}^2+4\left(n+1\right)+2=2\left(n^2+2n+1\right)+4n+4+2=$  

$=2n^2+4n+2+4n+4+2=2n^2+8n+8$ .

Sprawdzamy, czy ciąg $\left(c_n\right)$  jest arytmetyczny

$c_{n+1}-c_n=2n^2+8n+8-2n^2-4n-2=4n+6=2\left(2n+3\right)$ .

Różnica między sąsiednimi wyrazami nie jest stała (zależy od zmiennej $n$ ),

więc ciąg $\left(c_n\right)$  nie jest arytmetyczny.

---

$d)$    Zaczynamy od wyznaczenia $c_n$  

$c_n=a_n+b_n=2+{\left(n+3\right)}^2+2-{\left(n+3\right)}^2=$

$=2+n^2+6n+9+2-\left(n^2+6n+9\right)=$

$=2+n^2+6n+9+2-n^2-6n-9=4$  .

Następnie wyznaczamy  $c_{n+1}$  

$c_{n+1}=4$ .

Sprawdzamy, czy ciąg $\left(c_n\right)$  jest arytmetyczny

$c_{n+1}-c_n=4-4=0$ .

Różnica między sąsiednimi wyrazami jest stała, więc ciąg $\left(c_n\right)$  jest arytmetyczny.