Rysunek poglądowy:

Wprowadźmy dodatkowe oznaczenia:

$\left|AC\right|=x$    

$\left|AE\right|=y$  

 

Pole trójkąta ABC:

$P_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot \left|AC\right|\cdot \left|AB\right|\cdot \sin \alpha =\frac{1}{2}\cdot x\cdot 1\cdot \sin \alpha =\frac{1}{2}\cdot x\cdot 2\sin \left(\frac{\alpha }{2}\right)\cdot \cos \left(\frac{\alpha }{2}\right)=x\sin \left(\frac{\alpha }{2}\right)\cos \left(\frac{\alpha }{2}\right)$  

 

Pole trójkąta ADE:

$P_{ADE}=\frac{1}{2}\cdot \frac{x}{2}\cdot y\cdot \sin \left(\frac{\alpha }{2}\right)=\frac{x\cdot y\cdot \sin \left(\frac{\alpha }{2}\right)}{4}$  

 

A więc:

$P_{ABC}=4\cdot P_{ADE}$  

$x\cdot \sin \left(\frac{\alpha }{2}\right)\cdot \cos \left(\frac{\alpha }{2}\right)=4\cdot \frac{x\cdot y\cdot \sin \left(\frac{\alpha }{2}\right)}{4}$  

$x\cdot \sin \left(\frac{\alpha }{2}\right)\cdot \cos \left(\frac{\alpha }{2}\right)-x\cdot y\cdot \sin \left(\frac{\alpha }{2}\right)=0$  

$x\cdot \sin \left(\frac{\alpha }{2}\right)\cdot \left[\cos \left(\frac{\alpha }{2}\right)-y\right]=0$  

stąd:

$\cos \left(\frac{\alpha }{2}\right)-y=0$  

$y=\cos \left(\frac{\alpha }{2}\right)$  

 

W trójkącie ADE:

$\cos \left(\frac{\alpha }{2}\right)=\frac{\frac{x}{2}}{y}$   

$\cos \left(\frac{\alpha }{2}\right)=\frac{x}{2y}$  

$y=\frac{x}{2\cos \left(\frac{\alpha }{2}\right)}$  

 

W trójkącie ABC:

$\cos \alpha =\frac{1}{x}$  

$x=\frac{1}{\cos \alpha }$  

 

Zatem

$\cos \left(\frac{\alpha }{2}\right)=\frac{1}{2\cos \alpha \cdot \cos \left(\frac{\alpha }{2}\right)}$   

$2\cos \alpha \cdot {\cos }^2\left(\frac{\alpha }{2}\right)=1$  

$\left({\cos }^2\left(\frac{\alpha }{2}\right)-{\sin }^2\left(\frac{\alpha }{2}\right)\right)\cdot {\cos }^2\left(\frac{\alpha }{2}\right)=\frac{1}{2}$   

$\left({\cos }^2\left(\frac{\alpha }{2}\right)-\left(1-{\cos }^2\left(\frac{\alpha }{2}\right)\right)\right)\cdot {\cos }^2\left(\frac{\alpha }{2}\right)=\frac{1}{2}$  

$\left(2{\cos }^2\left(\frac{\alpha }{2}\right)-1\right)\cdot {\cos }^2\left(\frac{\alpha }{2}\right)=\frac{1}{2}$  

Podstawienie pomocnicze:

$t={\cos }^2\left(\frac{\alpha }{2}\right),t\in \left(0,1\right)$  

 

$\left(2t-1\right)\cdot t=\frac{1}{2}$  

$2t^2-t-\frac{1}{2}=0\mid \cdot 2$  

$4t^2-2t-1=0$  

$\Delta ={\left(-2\right)}^2-4\cdot 4\cdot \left(-1\right)=4+16=20$  

$\sqrt{\Delta }=2\sqrt{5}$  

$t_1=\frac{2-2\sqrt{5}}{8}\vee t_2=\frac{2+2\sqrt{5}}{8}$  

Uwzględniając dziedzinę:

${\cos }^2\left(\frac{\alpha }{2}\right)=\frac{2+2\sqrt{5}}{8}$  

${\cos }^2\left(\frac{\alpha }{2}\right)=\frac{1+\sqrt{5}}{4}$  

$\left|\cos \left(\frac{\alpha }{2}\right)\right|=\frac{\sqrt{1+\sqrt{5}}}{2}$  

Cosinus jest dodatni:

$\cos \left(\frac{\alpha }{2}\right)=\frac{\sqrt{1+\sqrt{5}}}{2}$  

Przybliżona wartość pierwiastka:

$\frac{\sqrt{1+\sqrt{5}}}{2}\approx 0,8995$  

Zatem:

$\cos \left(\frac{\alpha }{2}\right)\approx 0,8995$  

Z tablic wartości funkcji trygonometrycznych:

$\cos {26}^o\approx 0,899$

czyli

$\frac{\alpha }{2}\approx {26}^o$  

$\alpha \approx {52}^o$  

 

b) Z jedynki trygonometrycznej:

${\sin }^2\left(\frac{\alpha }{2}\right)+{\cos }^2\left(\frac{\alpha }{2}\right)=1$  

${\sin }^2\left(\frac{\alpha }{2}\right)+\frac{1+\sqrt{5}}{4}=1$  

${\sin }^2\left(\frac{\alpha }{2}\right)=\frac{4-\left(1+\sqrt{5}\right)}{4}$  

${\sin }^2\left(\frac{\alpha }{2}\right)=\frac{3-\sqrt{5}}{4}$  

$\sin \left(\frac{\alpha }{2}\right)=\frac{\sqrt{3-\sqrt{5}}}{2}$  

 

$P=3\cdot P_{ABC}=3\cdot \frac{1}{2}\cdot 1\cdot x\cdot \sin \alpha =\frac{3}{2}\cdot x\cdot \sin \alpha =\frac{3}{2}\cdot \frac{\sin \alpha }{\cos \left(\alpha \right)}=\frac{3\cdot 2\sin \left(\frac{\alpha }{2}\right)\cdot \cos \left(\frac{\alpha }{2}\right)}{2\cdot \left({\cos }^2\left(\frac{\alpha }{2}\right)-{\sin }^2\left(\frac{\alpha }{2}\right)\right)}=\frac{3\cdot \sin \left(\frac{\alpha }{2}\right)\cdot \cos \left(\frac{\alpha }{2}\right)}{{\cos }^2\left(\frac{\alpha }{2}\right)-{\sin }^2\left(\frac{\alpha }{2}\right)}$  

$\text{Dla}\alpha \approx {52}^o$  

 

$P=\frac{3\cdot \frac{\sqrt{3-\sqrt{5}}}{2}\cdot \frac{\sqrt{1+\sqrt{5}}}{2}}{\frac{1+\sqrt{5}}{4}-\frac{3-\sqrt{5}}{4}}=\frac{3\cdot \frac{\sqrt{\left(3-\sqrt{5}\right)\left(1+\sqrt{5}\right)}}{4}}{\frac{2\sqrt{5}-2}{4}}=\frac{3\cdot \frac{\sqrt{3+3\sqrt{5}-\sqrt{5}-5}}{4}}{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}=\frac{3\cdot \frac{\sqrt{2\sqrt{5}-2}}{4}}{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}=3\cdot \frac{\sqrt{2\sqrt{5}-2}}{4}\cdot \frac{2}{\sqrt{5}-1}=\frac{3\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{\sqrt{5}-1}}{2\cdot \left(\sqrt{5}-1\right)}=\frac{3\cdot \sqrt{2}\cdot {\left(\sqrt{5}-1\right)}^{\frac{1}{2}}}{2\cdot {\left(\sqrt{5}-1\right)}^1}=\frac{3\sqrt{2}}{2\cdot \sqrt{\sqrt{5}-1}}\cdot \frac{\sqrt{\sqrt{5}+1}}{\sqrt{\sqrt{5}+1}}=\frac{3\sqrt{2\cdot \left(\sqrt{5}+1\right)}}{2\cdot \sqrt{5-1}}=\frac{3\sqrt{2\left(\sqrt{5}+1\right)}}{4}$  

 

W przybliżeniu otrzymujemy:

$\frac{3\sqrt{2\left(\sqrt{5}+1\right)}}{4}\approx 1,91$