$a_n=\left(\sqrt{4n^2+3n+5}-\left(pn+1\right)\right)\cdot \frac{\sqrt{4n^2+3n+5}+\left(pn+1\right)}{\sqrt{4n^2+3n+5}+\left(pn+1\right)}=\frac{{\left(\sqrt{4n^2+3n+5}\right)}^2-{\left(pn+1\right)}^2}{\sqrt{4n^2+3n+5}+pn+1}=\frac{4n^2+3n+5-\left(p^2{n}^2+2pn+1\right)}{\sqrt{4n^2+3n+5}+pn+1}$

$=\frac{\left(4-p^2\right)n^2+\left(3-2p\right)n+4}{\sqrt{4n^2+3n+5}+pn+1}=\frac{\left(4-p^2\right)n^2+\left(3-2p\right)n+4}{n\sqrt{4+\frac{3}{n}+\frac{5}{n^2}}+pn+1}=\frac{n\left(\left(4-p^2\right)n+3-2p+\frac{4}{n}\right)}{n\left(\sqrt{4+\frac{3}{n}+\frac{5}{n^2}}+p+\frac{1}{n}\right)}=\frac{\left(4-p^2\right)n+3-2p+\frac{4}{n}}{\sqrt{4+\frac{3}{n}+\frac{5}{n^2}}+p+\frac{1}{n}}\underset{n\to \infty }{\to }\frac{\left(4-p^2\right)\cdot \infty +3-2p+0}{\sqrt{4+0+0}+p+0}=\frac{\left(4-p^2\right)\cdot \infty -2p+3}{p+2}$  

$\text{Dla}p=-2$  

$=\frac{-2\cdot \left(-2\right)+3}{-2+2}=\frac{7}{0}=\infty$  

 

Uwaga:

Podstawiając liczbę -2 lub 2 pod parametr p, powodujemy, że w liczniku granicy powstaje wyrażenie:

$0\cdot \infty$  

nie jest to symbol nieoznaczony gdyż 0 w tym wypadku jest liczbą a nie wartością granicy pewnego ciągu. Gdyby jednak 0 było granicą pewnego wyrażenia to oczywiście nie można w bezpośredni sposób policzyć tego wyrażenia.

 

$a)\text{Dla}p\in \left(2,\infty \right)$    

Mianownik jest dodatni, natomiast współczynnik przy najwyższej potędze wyrażenia z licznika jest ujemny. Wtedy granica będzie równa:

$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n\stackrel{\left[\frac{-\infty -k}{s}\right]}{=}-\infty ,k,s>0$  

 

b) Jeżeli współczynnik przy najwyższej potędze wyrażenia w liczniku jest równy 0, to mamy do czynienia jedynie z liczbami, zatem granica będzie właściwa.

$\text{Dla}p=2$   

$\frac{-2\cdot 2+3}{2+2}=\frac{-4+3}{4}=-\frac{1}{4}$  

 

$c)\text{Dla}p\in \left(-\infty ,-2\right)$  

Mianownik jest ujemny, współczynnik przy najwyższej potędze wyrażenia jest ujemny. Zatem:

$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n\stackrel{\left[\frac{-\infty +k}{-s}\right]}{=}\infty ,k,s>0$  

 

$\text{Dla}p\in \left(-2,2\right)$  

Mianownik jest dodatni, współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni. Zatem:

$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n\stackrel{\left[\frac{\infty \pm k}{s}\right]}{=}\infty$    

A więc granica niewłaściwa  $\infty$

$p\in \left(-\infty ,2\right)$