Matematyka

Matematyka 2 Pazdro. Zbiór zadań do liceów i techników. Poziom rozszerzony (Zbiór zadań, OE Pazdro)

Rozwiąż równania metodą algebraiczną i graficzną: 4.8 gwiazdek na podstawie 5 opinii
  1. Liceum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

`"a)"` Rozwiązanie algebraiczne:

`||x|-6|=4` 

`|x|-6=4\ vv\ |x|-6=-4`   

`|x|=10\ vv\ |x|=2` 

`x=-10\ vv\ x=10\ vv\ x=-2\ vv\ x=2` 

`x in {-10,-2,\ 2,\ 10}` 

 

Rozwiązanie graficzne:

Rozważmy dwie funkcje:

`f(x)=||x|-6|,\ p(x)=4`  

Żeby otrzymać wykres funkcji `f,` należy:

`1)` Narysować wykres funkcji `h(x)=x-6.` 

`2)` Odbić wykres funkcji `h` symetrycznie względem osi `OX,` otrzymamy wówczas wykres funkcji `g(x)=|x|-6.` 

`3)` Odbić wykres funkcji `g` symetrycznie względem osi `OX,` otrzymamy wówczas wykres funkcji `f(x)=||x|-6|.` 

Następnie rysujemy wykres funkcji `p` i odczytujemy z rysunku odcięte punktów, dla których wykresy `f` i `p` się przecinają.

                

`x in {-10,-2,\ 2,\ 10}` 

 

`"b)"` Rozwiązanie algebraiczne:

`||x|-1|=1` 

`|x|-1=1\ vv\ |x|-1=-1`   

`|x|=2\ vv\ |x|=0` 

`x=-2\ vv\ x=2\ vv\ x=0` 

`x in {-2,\ 0,\ 2}` 

 

Rozwiązanie graficzne:

Rozważmy dwie funkcje:

`f(x)=||x|-1|,\ p(x)=1`  

Żeby otrzymać wykres funkcji `f,` należy:

`1)` Narysować wykres funkcji `h(x)=x-1.` 

`2)` Odbić wykres funkcji `h` symetrycznie względem osi `OX,` otrzymamy wówczas wykres funkcji `g(x)=|x|-1.` 

`3)` Odbić wykres funkcji `g` symetrycznie względem osi `OX,` otrzymamy wówczas wykres funkcji `f(x)=||x|-1|.` 

Następnie rysujemy wykres funkcji `p` i odczytujemy z rysunku odcięte punktów, dla których wykresy `f` i `p` się przecinają.

`x in {-2,\ 0,\ 2}` 

 

`"c)"` Rozwiązanie algebraiczne:

`||x-3|+2|=3` 

`|x-3|+2=3\ vv\ |x-3|+2=-3` 

`|x-3|=1\ vv\ |x-3|=-5 -` sprzeczność

`x-3=1\ vv\ x-3=-1`  

`x=4\ vv\ x=2` 

`x in {2,\ 4}`  

 

Rozwiązanie graficzne:

Rozważmy dwie funkcje:

`f(x)=||x-3|+2|,\ p(x)=3`  

Żeby otrzymać wykres funkcji `f,` należy:

`1)` Narysować wykres funkcji `g(x)=|x-3|+2\ (`rysujemy wykres funkcji `y=|x|` i przesuwamy go o `3` jednostki

w prawo i `2` jednostki w górę`).`     

`2)` Odbić wykres funkcji `g` symetrycznie względem osi `OX,` otrzymamy wówczas wykres funkcji `f(x)=||x-3|+2|.` 

Następnie rysujemy wykres funkcji `p` i odczytujemy z rysunku odcięte punktów, dla których wykresy `f` i `p` się przecinają.

`x in {2,\ 4}`

 

`"d)"` Rozwiązanie algebraiczne:

`||x+1|-3|=5` 

`|x+1|-3=5\ vv\ |x+1|-3=-5` 

`|x+1|=8\ vv\ |x+1|=-2 -` sprzeczność

`x+1=8\ vv\ x+1=-8`  

`x=7\ vv\ x=-9` 

`x in {-9,\ 7}`  

 

Rozwiązanie graficzne:

Rozważmy dwie funkcje:

`f(x)=||x+1|-3|,\ p(x)=5`  

Żeby otrzymać wykres funkcji `f,` należy:

`1)` Narysować wykres funkcji `g(x)=|x+1|-3\ (`rysujemy wykres funkcji `y=|x|` i przesuwamy go o `1` jednostkę

w lewo i `3` jednostki w dół`).`     

`2)` Odbić wykres funkcji `g` symetrycznie względem osi `OX,` otrzymamy wówczas wykres funkcji `f(x)=||x+1|-3|.` 

Następnie rysujemy wykres funkcji `p` i odczytujemy z rysunku odcięte punktów, dla których wykresy `f` i `p` się przecinają.

`x in {-9,\ 7}` 

 

`"e)"` Rozwiązanie algebraiczne:

`||3-2x|+1|=4` 

`|3-2x|+1=4\ vv\ |3-2x|+1=-4` 

`|3-2x|=3\ vv\ |3-2x|=-5-` sprzeczność

`3-2x=3\ vv\ 3-2x=-3`  

`-2x=0\ vv\ -2x=-6\ "/":(-2)` 

`x=0\ vv\ x=3` 

`x in {0,\ 3}`    

 

Rozwiązanie graficzne:

Rozważmy dwie funkcje:

`f(x)=||3-2x|+1|,\ p(x)=4`  

Żeby otrzymać wykres funkcji `f,` należy:

`1)` Narysować wykres funkcji `g(x)=|3-2x|+1\ (`rysujemy wykres funkcji `y=|-2x|` i przesuwamy go o `3` jednostki

w lewo i `1` jednostkę w górę`).`     

`2)` Odbić wykres funkcji `g` symetrycznie względem osi `OX,` otrzymamy wówczas wykres funkcji `f(x)=||3-2x|+1|.` 

Następnie rysujemy wykres funkcji `p` i odczytujemy z rysunku odcięte punktów, dla których wykresy `f` i `p` się przecinają.

 

`x in {0,\ 3}`   

 

`"f)"` Rozwiązanie algebraiczne:

`||2x+5|-4|=3` 

`|2x+5|-4=3\ vv\ |2x+5|-4=-3` 

`|2x+5|=7\ vv\ |2x+5|=1` 

`2x+5=7\ vv\ 2x+5=-7\ vv\ 2x+5=1\ vv\ 2x+5=-1` 

`2x=2\ vv\ 2x=-12\ vv\ 2x=-4\ vv\ 2x=-6\ "/":2` 

`x=1\ vv\ x=-6\ vv\ x=-2\ vv\ x=-3` 

`x in {-6,-3, -2,\ 1}` 

 

Rozwiązanie graficzne:

Rozważmy dwie funkcje:

`f(x)=||2x+5|-4|,\ p(x)=3`  

Żeby otrzymać wykres funkcji `f,` należy:

`1)` Narysować wykres funkcji `g(x)=|2x+5|-4\ (`rysujemy wykres funkcji `y=|2x|` i przesuwamy go o `5` jednostek

w lewo i `4` jednostki w dół`).`     

`2)` Odbić wykres funkcji `g` symetrycznie względem osi `OX,` otrzymamy wówczas wykres funkcji `f(x)=||2x+5|-4|.` 

Następnie rysujemy wykres funkcji `p` i odczytujemy z rysunku odcięte punktów, dla których wykresy `f` i `p` się przecinają.

`x in {-6,-3, -2,\ 1}` 

 

`"g)"` Rozwiązanie algebraiczne:

`|4+|x-7"||"=2`  

`4+|x-7|=2\ vv\ 4+|x-7|=-2` 

`|x-7|=-2\ vv |x-7|=-6-` oba równania są sprzeczne

`x in O/`   

 

Rozwiązanie graficzne:

Rozważmy dwie funkcje:

`f(x)=|4+|x-7"||",\ p(x)=2`  

Żeby otrzymać wykres funkcji `f,` należy:

`1)` Narysować wykres funkcji `g(x)=4+|x-7|\ (`rysujemy wykres funkcji `y=|x|` i przesuwamy go o `7` jednostek

w prawo i `4` jednostki w górę`).`     

`2)` Odbić wykres funkcji `g` symetrycznie względem osi `OX,` otrzymamy wówczas wykres funkcji `f(x)=|4+|x-7"||".` 

Następnie rysujemy wykres funkcji `p` i odczytujemy z rysunku odcięte punktów, dla których wykresy `f` i `p` się przecinają.

`x in O/` 

 

`"h)"` Rozwiązanie algebraiczne:

`||6-x|-2|=2`  

`|6-x|-2=2\ vv\ |6-x|-2=-2` 

`|6-x|=4\ vv\ |6-x|=0` 

`6-x=4\ vv\ 6-x=-4\ vv\ 6-x=0` 

`x=2\ vv\ x=10\ vv\ x=6` 

`x in {2,\ 6,\ 10}`  

 

Rozwiązanie graficzne:

Rozważmy dwie funkcje:

`f(x)=||6-x|-2|,\ p(x)=2`  

Żeby otrzymać wykres funkcji `f,` należy:

`1)` Narysować wykres funkcji `g(x)=|6-x|-2\ (`rysujemy wykres funkcji `y=|-x|` i przesuwamy go o `6` jednostek

w lewo i `2` jednostki w dół`).`     

`2)` Odbić wykres funkcji `g` symetrycznie względem osi `OX,` otrzymamy wówczas wykres funkcji `f(x)=||6-x|-2|.` 

Następnie rysujemy wykres funkcji `p` i odczytujemy z rysunku odcięte punktów, dla których wykresy `f` i `p` się przecinają.

`x in {2,\ 6,\ 10}` 

 

DYSKUSJA
Informacje
Autorzy: Marcin Kurczab, Elżbieta Kurczab, Elżbieta Świda
Wydawnictwo: OE Pazdro
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile image

Nauczyciel

Ostatnie 7 dni na Odrabiamy w liczbach...
ROZWIĄZALIŚMY0ZADAŃ
zadania
wiadomości
ODPOWIEDZIELIŚMY NA0WIADOMOŚCI
NAPISALIŚCIE0KOMENTARZY
komentarze
... i0razy podziękowaliście
Autorom
Wiedza
Funkcja ciągła
Funkcja ciągła to intuicyjnie taka funkcja, którą można narysować bez odrywania ołówka od kartki - nie ma żadnych nagłych "przeskoków". Jednak ta definicja, poza tym, że jest mało precyzyjna, zawiera błąd. Na przykład funkcję $$f(x) = frac{1}{x}$$ nazywamy funkcją ciągłą, mimo, że przecież nie da się narysować jej wykresu od $$-1$$ do $$1$$ bez odrywania ołówka. Dzieje się tak, ponieważ funkcja może być ciągła tylko w swojej dziedzinie - poza dziedziną przecież "nie istnieje", więcn nie można nic o niej powiedzieć.

Precyzyjną definicją ciągłości jest to, czy dla każdego $$x f(x)$$ jest równe granicy w tym punkcie. Intuicyjnie wydaje się to poprawne: jeśli coraz bardziej zbliżamy się do punktu $$x_0$$ i jesteśmy coraz bliżej jego wartości, to jeśli w końcu dotrzemy w $$x_0$$, to powinniśmy tam znaleźć wartość właśnie $$f(x_0)$$.

Funkcje ciągłe mają tę ciekawą właściwość, że na przedziale przyjmują wszystkie wartości pośrednie. To znaczy, że jeśli na przykład w punkcie $$x = 0 f(x) = 2$$, a w punkcie $$x = 1 f(x) = -2$$, to wiemy, że w tym przedziale na pewno znajdzie się taki punkt $$a$$, że $$f(a) = 0$$. (Oczywiście funkcja musi być określona na całym tym przedziale)

Ważne jest to, że wykonując operacje arytmetyczne oraz składając funkcje ciągłe otrzymujemy zawsze funkcje ciągłe - dlatego wszystkie "normalne", tzn określone "prostym" wzorem (jak na przykład wielomiany lub funkcje trygonometryczne) będą ciągłe.
Równania

Dwa wyrażenia algebraiczne, z których przynajmniej jedno zawiera literę, połączone znakiem równości tworzą równanie.

Litera występująca w równaniu to niewiadoma.

Wyrażenie występujące po lewej stronie znaku równości to lewa strona równania, a wyrażenie występujące po prawej stronie to prawa strona równania.

lewa i prawa strona równania

Równanie pierwszego stopnia z jedną niewiadomą to dwa wyrażenia algebraiczne połączone znakiem równości, przy czym w równaniu tym występuje tylko jedna niewiadoma w pierwszej potędze.

Przykłady równań pierwszego stopnia z jedną niewiadomą:

  • $$7x − 11 = 17$$
  • $$8y = 16$$
  • $$3x + 7 = 10 + 2x$$

Rozwiązanie równania z jedną niewiadomą – to liczba, która podstawiona do równania w miejsce niewiadomej spełnia to równanie (czyli po podstawieniu tej liczby w miejsce niewiadomej, lewa strona równania będzie się równać prawej stronie).

Przykład 1.

Sprawdźmy czy liczba 2 spełnia równanie $$3x + 7 = 10 + 2x$$, czyli czy jest rozwiązaniem tego równania.
Podstawiamy liczbę 2 w miejsce niewiadomej x.

  • I sposób
    Obliczamy wartość lewej i prawej strony równania, podstawiając w miejsce x liczbę 2, a następnie porównujemy otrzymane wyniki:

    $$L = 3x + 7 = 3•2+ 7 = 6 + 7 = 13$$
    $$P = 10 + 2x = 10 + 2•2= 10 + 4 = 14$$
    $$13≠14$$, czyli $$L≠P$$

    czyli liczba 2 nie spełnia danego równania, zatem nie jest rozwiązaniem równania.

  • II sposób
    Podstawiamy 2 w miejsce x i sprawdzamy czy otrzymamy równość prawdziwą:

    $$3•2+7=10 + 2•2$$
    $$6 + 7 = 10 + 4$$
    $$13 = 14$$ ← otrzymaliśmy równość fałszywą

    zatem liczba 2 nie spełnia danego równania, zatem nie jest rozwiązaniem równania.

Przykład 2.

Sprawdźmy czy liczba 3 spełnia równanie $$3x + 7 = 10 + 2x$$, czyli czy jest rozwiązaniem tego równania.

  • Podstawiamy liczbę 3 w miejsce niewiadomej x.
    Obliczamy wartość lewej i prawej strony równania, podstawiając w miejsce x liczbę 2, a następnie porównujemy otrzymane wyniki:

    $$L = 3x + 7 = 3•3+ 7 = 9 + 7 = 16$$
    $$P = 10 + 2x = 10 + 2•3= 10 + 6 = 16$$
    $$L = P$$

    Zatem liczba 3 spełnia dane równanie, zatem jest jego rozwiązaniem.
Udostępnij zadanie