Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

Mamy dane:

$r=4\text{cm}$  

$c=10\text{cm}$  

Chcemy wyznaczyć sumę długości czerwonych odcinków oraz sumę długości niebieskich odcinków.

Z twierdzenia o odcinkach stycznych wynika, że:

$x=\frac{1}{2}a$  

$y=\frac{1}{2}b$  

Stąd:

$L_c=2x+a=2a$  

$L_n=2y+b=2b$  

 

W trapez wpisano okrąg, stąd:

$a+b=2c$  

$a+b=20$  

$a=20-b\left(\ast \right)$  

 

Ponadto trójkąt  $\Delta AOD$  jest prostokątny.

Z twierdzenia o wysokości trójkąta prostokątnego poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego otrzymujemy:

$r^2=xy$  

$4^2=\frac{1}{2}a\cdot \frac{1}{2}b\text{/}\cdot 4$  

$ab=64$  

 

Podstawiamy zależność  $\left(\ast \right):$  

$\left(20-b\right)b=64$  

$20b-b^2=64$  

$b^2-20b+64=0$  

$\Delta =400-256=144,\sqrt{\Delta }=12$  

$b=\frac{20-12}{2}=4\vee b=\frac{20+12}{2}=16$  

Wówczas:

$a=16\vee a=4$  

Załóżmy, że zachodzi sytuacja przedstawiona na rysunku pomocniczym, czyli że  $a$  jest dłuższym bokiem.

Stąd:

$a=16\left[\text{cm}\right]$  

$b=4\left[\text{cm}\right]$  

 

Obliczamy sumę długości czerwonych odcinków oraz sumę długości niebieskich odcinków:

$L_c=2a=2\cdot 16=32\left[\text{cm}\right]$  

$L_n=2b=2\cdot 4=8\left[\text{cm}\right]$  

Odp. Długości szukanych części to  $8\text{cm}$  oraz  $32\text{cm}.$