a) Przyjmijmy oznaczenia takie jak na poniższym rysunku 

Zauważmy, że każdy z trójkątów AEH, BKL, CFG i DMN ma dwa kąty o mierze 45°, czyli każdy z tych trójkątów jest trójkątem prostokątnym równoramiennym. 

Skąd dostajemy, że każdy z kątów wewnętrznych czworokąta ABCD jest prosty, czyli ten czworokąt jest prostokątem. 

Wykażemy jeszcze, że sąsiednie boki tego czworokąta są równej długości. 

Rozważmy trójkąty ELH i EHN.  

Zauważmy, że są one przystające (na mocy cechy przystawania kąt-bok-kąt), skąd dostajemy 

$\left|HL\right|=\left|EN\right|$  

oraz

$\left|EL\right|=\left|HN\right|\Rightarrow \left|LF\right|=\left|NG\right|\left(\text{*}\right)$  

Rozważmy trójkąty FKG i FGM.  

Zauważmy, że są one przystające (na mocy cechy przystawania kąt-bok-kąt), skąd dostajemy 

$\left|KF\right|=\left|MG\right|\Rightarrow \left|EK\right|=\left|HM\right|\left(\text{**}\right)$  

Korzystając z (*) i (**) mamy 

$\left|KL\right|=\left|EF\right|-\left|EK\right|-\left|LF\right|=\left|HG\right|-\left|HM\right|-\left|NG\right|=\left|MN\right|$  

czyli trójkąty KLB i MND są przystające (na mocy cechy przystawania kąt-bok-kąt).

Zatem otrzymujemy 

$\left|AB\right|=\left|HL\right|-\left|HA\right|-\left|BL\right|=\left|EN\right|-\left|EA\right|-\left|DN\right|=\left|AD\right|$

czyli 

$\left|AB\right|=\left|AD\right|$  

sąsiednie boki prostokąta ABCD są równe, więc ten czworokąt jest kwadratem.

c.n.d. 

---

b) Przyjmijmy oznaczenia takie jak na poniższym rysunku

Niech proste HB, EB, GD i FD będą dwusiecznymi kątów zewnętrznych prostokąta. Punkty przecięcia dwusiecznych oznaczmy przez A, B, C i D (tak jak na powyższym obrazku). 

Każdy z kątów zewnętrznych w prostokącie ma miarę 90°, zatem każdy z kątów AEF, AFE, BHE, BEH, CHG, CGH, DGF, DFG ma miarę 45°.

Rozważmy trójkąty AEF i CGH. 

Korzystając z faktu, że suma kątów w trójkącie jest równa 180° dostajemy, że 

$\left|\sphericalangle HCG\right|=\left|\sphericalangle FAE\right|={90}^{\circ }$

Zatem te trójkąty są prostokątne, mają odpowiednie kąty równe i bok tej samej długości (|EF| = |HG|) zatem na podstawie cechy przystawania kąt-bok-kąt (kbk) są przystające, czyli

$\left|AE\right|=\left|AF\right|=\left|CH\right|=\left|CG\right|=x$  

Rozważmy trójkąty BEH i DFG. 

Korzystając z faktu, że suma kątów w trójkącie jest równa 180° dostajemy, że 

$\left|\sphericalangle EBH\right|=\left|\sphericalangle FDG\right|={90}^{\circ }$

Zatem te trójkąty są prostokątne, mają odpowiednie kąty równe i bok tej samej długości (|EH| = |FG|) zatem na podstawie cechy przystawania kąt-bok-kąt (kbk) są przystające, czyli

$\left|BE\right|=\left|BH\right|=\left|DG\right|=\left|DF\right|=y$  

Rozważmy czworokąt ABCD. 

Zauważmy, że

$\left|AB\right|=\left|BC\right|=\left|CD\right|=\left|AD\right|=x+y$  

Zauważmy, że w tym czworokącie kąty przy wierzchołkach A, B, C i D są proste oraz boki AB, BC, CD i AD są równej długości więc ten czworokąt jest kwadratem. 

c.n.d.