Odcinki AC i BD to przeciwprostokątne trójkątów prostokątnych o przyprostokątnych długości 3 i 4.

Na mocy twierdzenia Pitagorasa obliczmy długość odcinka AC:

$3^2+4^2=A{C}^2$  

$9+16=A{C}^2$  

$A{C}^2=25$  

$AC=5$  

Wszystkie boki czworokąta ABCD mają długość 5, zatem czworokąt ten jest rombem.


Obliczmy pole tego rombu:

I sposób (korzystamy z wzoru na pole równoległoboku):

$P=5\cdot 4=20$  


II sposób (obliczamy różnicę pól: prostokąta o wymiarach 8 x 4 oraz dwóch trójkątów prostokątnych o przyprostokątnych długości 3 i 4):

$P=8\cdot 4-2\cdot \frac{1}{2}\cdot 3\cdot 4=32-3\cdot 4=32-12=20$  




Na podstawie rys. 1:

Odcinki AB i CD są równej długości ponieważ to przeciwprostokątne trójkątów prostokątnych o przyprostokątnych długości 1 i 8.

Na mocy twierdzenia Pitagorasa obliczmy długość odcinka AB:

$1^2+8^2=A{B}^2$  

$1+64=A{B}^2$  

$A{B}^2=65$  

$AB=\sqrt{65}$  

Odcinki AC i BD są równej długości ponieważ to przeciwprostokątne trójkątów prostokątnych o przyprostokątnych długości 7 i 4.

Na mocy twierdzenia Pitagorasa obliczmy długość odcinka AB:

$7^2+4^2=A{C}^2$  

$49+16=A{C}^2$  

$A{C}^2=65$  

$AC=\sqrt{65}$  

Wszystkie boki czworokąta ABCD mają długość $\sqrt{65}$  , zatem czworokąt ten jest rombem.

Obliczmy pole czworokąta ABCD 


I sposób (korzystamy z wzoru na pole rombu):

Obliczmy długość przekątnych tego rombu (rys. 2):

odcinek AD jest przeciwprostokątną rombu o przyprostokątnych 4 i 6, zatem na mocy twierdzenia Pitagorasa:

$4^2+6^2=A{D}^2$  

$16+36=A{D}^2$  

$A{D}^2=52\mid \sqrt{}$  

$AD=\sqrt{52}$  

$AD=2\sqrt{13}$  


odcinek CB jest przeciwprostokątną rombu o przyprostokątnych 8 i 12, zatem na mocy twierdzenia Pitagorasa:

$8^2+{12}^2=C{B}^2$  

$64+144=C{B}^2$  

$C{B}^2=208\mid \sqrt{}$  

$CB=\sqrt{208}$  

$CB=4\sqrt{13}$  

Pole tego rombu wynosi zatem:

$P=\frac{AD\cdot CB}{2}$  

$P=\frac{2\sqrt{13}\cdot 4\sqrt{13}}{2}=\frac{8\cdot 13}{2}=4\cdot 13=52$  



II sposób (obliczamy różnicę sumy pól trzech prostokątów MDKC, MJNI, ALBN oraz sumy pól czterech trójkątów CDK, DJB, ALB, CIA):

$P=8\cdot 1+12\cdot 6+1\cdot 8-\left(\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 8+\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 7+\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 8+\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 7\right)=8+72+8-\left(4+14+4+14\right)=88-36=52$