$a)$  

Mamy równanie:

$k=1+\frac{2}{n-1}$  

Musimy znaleźć taką liczbę naturalną $n$  , żeby $k$   również było liczbą naturalną oraz wyrażenie  $n-1$  było dzielnikiem liczby 2. Wiemy, że liczna 2 ma dwa dzielniki, którymi są liczby 1 i 2. Z tego wynika, że dla dzielnika liczby 2 równego 1 otrzymujemy, że liczba n jest równa:

$n-1=1\mid +1$  

  $n=2$  

Dla dzielnika liczby 2 równego 2 otrzymujemy, że liczba n jest równa:

$n-1=2\mid +1$

$n=3$

Wówczas dla poszczególnych liczb n liczba k wynosi: 

$\text{dla }n=2\text{ mamy: }k=1+\frac{2}{2-1}=1+\frac{2}{1}=1+2=3$  

$\text{dla }n=3\text{ mamy: }k=1+\frac{2}{3-1}=1+\frac{2}{2}=1+1=2$  

Otrzymaliśmy pary liczb (k, n):

$\left(2,3\right),\left(3,2\right)$  

 

$b)$  

Mamy równanie:

$k=\frac{2n}{n-1}$   

Możemy zauważyć, że pierwszą parę spełniającą tą zależność otrzymamy dla:

$n=0$

Wówczas liczba k będzie wynosiła:

$k=\frac{2\cdot 0}{0-1}=\frac{0}{-1}=0$   

Spróbujmy zapisać, to wyrażenie w prostszej postaci:

$k=\frac{2n}{n-1}$  

$k=\frac{n+n-1+1}{n-1}$  

$k=\frac{n-1+n+1}{n-1}$  

$k=\frac{n-1}{n-1}+\frac{n+1}{n-1}$  

$k=1+\frac{n+1}{n-1}$  

$k=1+\frac{n-1+2}{n-1}$  

$k=1+\frac{n-1}{n-1}+\frac{2}{n-1}$  

$k=1+1+\frac{2}{n-1}$  

$k=2+\frac{2}{n-1}$  

Korzystając z poprzedniego podpunktu wiemy, że n jest równe 2 lub 3. Wówczas dla poszczególnych n otrzymujemy, że:

$\text{dla }n=2\text{ mamy: }k=2+\frac{2}{2-1}=2+\frac{2}{1}=2+2=4$  

$\text{dla }n=3\text{ mamy: }k=2+\frac{2}{3-1}=2+\frac{2}{2}=2+1=3$  

Otrzymaliśmy pary liczb (k, n):

$\left(0,0\right),\left(4,2\right),\left(3,3\right)$  

 

$c)$  

Mamy równanie:

$kn-k=3n-1$   

Możemy zauważyć, że pierwszą parę spełniającą tą zależność otrzymamy dla:

$n=0$

Wówczas liczba k będzie wynosiła:

$k\cdot 0-k=3\cdot 0-1$  

$0-k=0-1$  

$-k=-1\mid \cdot \left(-1\right)$  

$k=1$  

Spróbujmy zapisać, to wyrażenie w prostszej postaci:

$kn-k=3n-1$   

$k\left(n-1\right)=3n-1\mid :\left(n-1\right)$   

$k=\frac{3n-1}{n-1}$   

$k=\frac{n-1+2n}{n-1}$   

$k=\frac{n-1}{n-1}+\frac{2n}{n-1}$   

$k=1+\frac{2n}{n-1}$   

$k=1+\frac{n+n-1+1}{n-1}$  

$k=1+\frac{n-1+n+1}{n-1}$  

$k=1+\frac{n-1}{n-1}+\frac{n+1}{n-1}$  

$k=1+1+\frac{n+1}{n-1}$  

$k=2+\frac{n-1+2}{n-1}$  

$k=2+\frac{n-1}{n-1}+\frac{2}{n-1}$  

$k=2+1+\frac{2}{n-1}$  

$k=3+\frac{2}{n-1}$  

Korzystając z poprzedniego podpunktu wiemy, że n jest równe 2 lub 3. Wówczas dla poszczególnych n otrzymujemy, że:

$\text{dla }n=2\text{ mamy: }k=3+\frac{2}{2-1}=3+\frac{2}{1}=3+2=5$  

$\text{dla }n=3\text{ mamy: }k=3+\frac{2}{3-1}=3+\frac{2}{2}=3+1=4$  

Otrzymaliśmy pary liczb (k, n):

$\left(1,0\right),\left(5,2\right),\left(4,3\right)$  

 

$d)$  

Mamy równanie:

$4n-kn+k-6=0$   

Możemy zauważyć, że pierwszą parę spełniającą tą zależność otrzymamy dla:

$n=0$

Wówczas liczba k będzie wynosiła:

$4\cdot 0-k\cdot 0+k-6=0$   

$k-6=0\mid +6$   

$k=6$  

Spróbujmy zapisać, to wyrażenie w prostszej postaci:

$4n-kn+k-6=0\mid -4n+6$   

$-kn+k=-4n+6\mid \cdot \left(-1\right)$   

$kn-k=4n-6$   

$k\left(n-1\right)=4n-6\mid :\left(n-1\right)$   

$k=\frac{4n-6}{n-1}$   

$k=\frac{4n-4-2}{n-1}$   

$k=\frac{4\left(n-1\right)-2}{n-1}$   

$k=\frac{4\left(n-1\right)}{n-1}-\frac{2}{n-1}$   

$k=4-\frac{2}{n-1}$   

Korzystając z poprzedniego podpunktu wiemy, że n jest równe 2 lub 3. Wówczas dla poszczególnych n otrzymujemy, że:

$\text{dla }n=2\text{ mamy: }k=4-\frac{2}{2-1}=4-\frac{2}{1}=4-2=2$  

$\text{dla }n=3\text{ mamy: }k=4-\frac{2}{3-1}=4-\frac{2}{2}=4-1=3$  

Otrzymaliśmy pary liczb (k, n):

$\left(6,0\right),\left(2,2\right),\left(3,3\right)$