Dane:

$\left|\angle ABC\right|=\left|\angle PRQ\right|={90}^{\circ }$  

 

$a)$  

$\left|AB\right|=6;\left|BC\right|=7,5;\left|PR\right|=20;\left|QR\right|=16$  

Narysujmy rysunek zgodny z treścią zadania:

Zbadajmy proporcjonalność przyprostokątnych tych trójkątów. Dla krótszych przyprostokątnych:

$6\cdot k=16\mid :6$  

$k=\frac{16}{6}$  

$k=\frac{8}{6}$  

Dla dłuższych przyprostokątnych:

$7,5\cdot k=20\mid :7,5$ $7,5\cdot k=20\mid :7,5$  

$k=\frac{20}{7,5}$  

$k=\frac{200}{75}$  

$k=\frac{8}{3}$  

Odp.: Tak, ponieważ stosunki długości poszczególnych przyprostokątnych są takie same, czyli trójkąty są podobne.

 

$b)$  

$\left|\angle ACB\right|={15}^{\circ };\left|\angle RPQ={75}^{\circ }\right|$  

Narysujmy rysunek zgodny z treścią zadania:

Wiemy, że aby trójkąty były podobne, to miary odpowiadających sobie kątów wewnętrznych musza być takie same. Sprawdźmy, czy kąt α równy jest 75^o:

$\alpha +90+{15}^{\circ }={180}^{\circ }$  

$\alpha +{105}^{\circ }={180}^{\circ }\mid -{105}^{\circ }$  

$\alpha ={75}^{\circ }$  

Odp.: Tak, ponieważ miary odpowiadających sobie kątów wewnętrznych są takie same, czyli trójkąty są podobne.

 

$c)$  

$\left|AB\right|=5\sqrt{2};\left|BC\right|=6;\left|PQ\right|=10;\left|PR\right|=6\sqrt{2}$  

Narysujmy rysunek zgodny z treścią zadania:

Obliczmy przeciwprostokątną trójkąta ABC:

${\left|AC\right|}^2={\left(5\sqrt{2}\right)}^2+6^2$  

${\left|AC\right|}^2=25\cdot 2+36$  

${\left|AC\right|}^2=50+36$  

${\left|AC\right|}^2=86\mid \sqrt{}$  

$\left|AC\right|=\sqrt{86}$  

Zbadajmy proporcjonalność dłuższych boków trójkątów:

$5\sqrt{2}\cdot k=6\sqrt{2}\mid :\sqrt{2}$  

$5\cdot k=6\mid :5$  

$k=\frac{6}{5}$  

Zbadajmy proporcjonalność przeciwprostokątnych:

$\sqrt{86}\cdot k=10\mid :\sqrt{86}$  

$k=\frac{10}{\sqrt{86}}$  

Odp.: Tak, ponieważ stosunki długości poszczególnych boków są różne, czyli trójkąty nie są podobne.

 

$d)$  

$\left|\angle BAC\right|={33}^{\circ };\left|\angle RPQ\right|={66}^{\circ }$  

Narysujmy rysunek zgodny z treścią zadania:

Wiemy, że aby trójkąty były podobne, to miary odpowiadających sobie kątów wewnętrznych musza być takie same. Sprawdźmy, czy kąt α równy jest 66^o:

$\alpha +{90}^{\circ }+{33}^{\circ }={180}^{\circ }$  

$\alpha +{123}^{\circ }={180}^{\circ }\mid -{123}^{\circ }$  

$\alpha ={57}^{\circ }$  

Odp.: Tak, ponieważ jednak miary odpowiadających sobie kątów wewnętrznych są różne, czyli trójkąty nie są podobne.