Rysunek pomocniczy:

Obliczamy kąt rozwarcia wycinka o promieniu  $r:$  

$\alpha ={360}^{\circ }-{90}^{\circ }={270}^{\circ }$  

Obliczamy pole wycinka o promieniu  $r:$  

$P_1=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot \pi r^2$  

$P_1=\frac{{270}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot \pi r^2=\frac{3}{4}\pi r^2$  

 

Obliczamy kąt rozwarcia wycinka o promieniu  $R:$  

$\beta ={45}^{\circ }+{90}^{\circ }={135}^{\circ }$  

Odcinek  $R$  jest przekątną kwadratu o boku  $r,$  zatem, ze wzoru na przekątną kwadratu, mamy:         

$R=r\sqrt{2}$  

Obliczamy pole wycinka o promieniu  $R:$  

$P_2=\frac{\beta }{{360}^{\circ }}\cdot \pi R^2$  

$P_2=\frac{{135}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot \pi \cdot {\left(r\sqrt{2}\right)}^2=\frac{15}{40}\cdot \pi r^2\cdot 2=\frac{3}{8}\cdot 2\pi r^2=\frac{3}{4}\pi r^2$     

Otrzymaliśmy:

$P_1=P_2,$  co należało dowieść.