Rysunek pomocniczy:

 

Mamy dane:

$H=4\text{cm}$  

Jeżeli przekątna jest nachylona do podstawy pod kątem ∘60∘ to oznacza to, że trójkąt 𝐷𝑀CDM jest połówką

trójkąta równobocznego  $CPM,$  który dorysowaliśmy na rysunku pomocniczym.

Odcinek  $H$  jest zatem wysokością tego trójkąta. Ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego wyznaczamy

długość boku trójkąta  $CPM:$  

$H=\frac{p\sqrt{3}}{2}$   

$4=\frac{p\sqrt{3}}{2}\text{/}\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}$   

$p=\frac{8}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{8\sqrt{3}}{3}\text{cm}$  

Zauważmy, że  $a=\frac{1}{2}p.$  Możemy więc obliczyć długość krawędzi podstawy graniastosłupa:

$a=\frac{1}{2}\cdot \frac{8\sqrt{3}}{3}=\frac{4\sqrt{3}}{3}\text{cm}$  

Podstawa graniastosłupa składa się z sześciu trójkątów równobocznych. Zatem pole podstawy 

graniastosłupa obliczymy następująco:

$P_p=6\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}=3\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{2}$  

$P_p=3\cdot \frac{{\left(\frac{4\sqrt{3}}{3}\right)}^2\sqrt{3}}{2}=3\cdot \frac{\frac{16\cdot 3}{9}\cdot \sqrt{3}}{2}=\frac{16\sqrt{3}}{2}=8\sqrt{3}{\text{cm}}^2$  

Odp. Pole podstawy graniastosłupa jest równe  $8\sqrt{3}{\text{cm}}^2.$