Nie musimy wykonywać dokładnych obliczeń, interesują nas tylko ostatnie liczby. W zadaniu pojawiają się potęgi liczb 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10. 

Zastanówmy się, jakie są ostatnie cyfry potęg tych liczb.

 

$\text{liczba 2}$

Zapiszmy kilka kolejnych potęg dwójki:

$2^1=\underline{\underline{2}}$

$2^2=2\cdot 2=\underline{\underline{4}}$

$2^3=2\cdot 2\cdot 2=4\cdot 2=\underline{\underline{8}}$

$2^4=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=8\cdot 2=1\underline{\underline{6}}$

$2^5=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16\cdot 2=3\underline{\underline{2}}$

$2^6=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=32\cdot 2=6\underline{\underline{4}}$

Ostatnie cyfry pojawiają się w kolejności 2, 4, 8, 6, 2, 4, itd. Zatem:

• ostatnia cyfra to 2, gdy wykładnik potęgi jest równy 1, 5, 9, 13, itd, czyli gdy wykładnik potęgi przy dzieleniu przez 4 daje resztę 1 
• ostatnia cyfra to 4, gdy wykładnik potęgi jest równy 2, 6, 10, 14, itd, czyli gdy wykładnik potęgi przy dzieleniu przez 4 daje resztę 2
• ostatnia cyfra to 8, gdy wykładnik potęgi jest równy 3, 7, 11, 15, itd, czyli gdy wykładnik potęgi przy dzieleniu przez 4 daje resztę 3
• ostatnia cyfra to 6, gdy wykładnik potęgi jest równy 4, 8, 12, 16 itd, czyli gdy wykładnik potęgi jest liczbą podzielną przez 4

  $\underline{\underline{}}$

 

$\text{liczba 3}$

Zapiszmy kilka kolejnych potęg trójki: 

$3^1=\underline{\underline{3}}$

$3^2=3\cdot 3=\underline{\underline{9}}$

$3^3=3\cdot 3\cdot 3=9\cdot 3=2\underline{\underline{7}}$

$3^4=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=27\cdot 3=8\underline{\underline{1}}$

$3^5=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\cdot 3=24\underline{\underline{3}}$

$3^6=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=243\cdot 3=72\underline{\underline{9}}$

 

Ostatnie cyfry pojawiają się w kolejności 3, 9, 7, 1, 3, 9,  itd. Zatem:

 

• ostatnia cyfra to 3, gdy wykładnik potęgi jest równy 1, 5, 9, 13, itd, czyli gdy wykładnik potęgi przy dzieleniu przez 4 daje resztę 1
• ostatnia cyfra to 9, gdy wykładnik potęgi jest równy 2, 6, 10, 14, itd, czyli gdy wykładnik potęgi przy dzieleniu przez 4 daje resztę 2
• ostatnia cyfra to 7, gdy wykładnik potęgi jest równy 3, 7, 11, 15, itd, czyli gdy wykładnik potęgi przy dzieleniu przez 4 daje resztę 3
• ostatnia cyfra to 1, gdy wykładnik potęgi jest równy 4, 8, 12, 16 itd, czyli gdy wykładnik potęgi jest liczbą podzielną przez 4

  $\underline{\underline{}}$

 

$\text{liczba 4}$

Kolejne potęgi czwórki:

$4^1=\underline{\underline{4}}$

$4^2=4\cdot 4=1\underline{\underline{6}}$

$4^3=4\cdot 4\cdot 4=16\cdot 4=6\underline{\underline{4}}$

$4^4=4\cdot 4\cdot 4\cdot 4=64\cdot 4=25\underline{\underline{6}}$

 

Tym razem widać, że jeśli wykładnik potęgi jest nieparzysty, to ostatnią cyfrą jest 4, natomiast jeśli wykładnik potęgi jest parzysty, to ostatnią cyfrą jest 6. 

$\underline{\underline{}}$

 

$\text{liczba 5}$

Kolejne potęgi piątki: 

$5^1=\underline{\underline{5}}$

$5^2=5\cdot 5=2\underline{\underline{5}}$

$5^3=5\cdot 5\cdot 5=25\cdot 5=12\underline{\underline{5}}$

Niezależnie od wykładnika, ostatnią cyfrą dowolnej potęgi liczby 5 jest 5. 
$\underline{\underline{}}$

 

$\text{liczba 9}$

$9^1=\underline{\underline{9}}$

$9^2=9\cdot 9=8\underline{\underline{1}}$

$9^3=9\cdot 9\cdot 9=81\cdot 9=72\underline{\underline{9}}$

 

Tym razem widać, że jeśli wykładnik potęgi jest nieparzysty, to ostatnią cyfrą jest 9, natomiast jeśli wykładnik potęgi jest parzysty, to ostatnią cyfrą jest 1. 
$\underline{\underline{}}$

  $\text{liczba 10}$

${10}^1=1\underline{\underline{0}}$

${10}^2=10\cdot 10=10\underline{\underline{0}}$

Niezależenie od wykładnika, ostatnią cyfrą dowolnej potęgi dziesiątki, jest 0.  

 

$\overline{\overline{\underline{\underline{}}}}$

 

Przechodzimy do zadania. Po strzałce zapisywać będziemy ostatnie cyfry, odgadnięte zgodnie z powyższymi zasadami. 

$A.{10}^{315}-2^{79}\to 0-8\to 10-8=2$

 

$B.3^{13}+9^{33}\to 3+9=12\to 2$

 

$C.4^{65}\cdot 2^{95}\to 4\cdot 8=32\to 2$

 

$D.5^{26}-3^9\to 5-3=2$

 

Wszystkie odpowiedzi są prawidłowe.