$\text{a)}$  Rysunek pomocniczy:

 

Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma w podstawie kwadrat. Jego obwód wynosi:

$O{b}_1=4a$   

Obliczamy długość krawędzi podstawy: 

$4a=24\text{/}:4$  

$a=6\text{cm}$  

Ściana boczną ostrosłupa jest trójkąt równoramienny. Jego obwód wynosi:

$O{b}_2=a+2b$  

Obliczamy długość krawędzi bocznej: 

$6+2b=18$  

$2b=12\text{/}:2$  

$b=6\text{cm}$  

Aby obliczyć pole powierzchni całkowitej ostrosłupa, potrzebna będzie wysokość ściany bocznej $h.$  

Obliczamy ją, korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta $ECW:$  

$h^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2=b^2$  

$h^2+3^2=6^2$  

$h^2+9=36$  

$h^2=36-9$  

$h^2=27$  

$h=3\sqrt{3}\text{cm}$  

Obliczamy pole podstawy:

$P_p=a^2$  

$P_p=6^2=36{\text{cm}}^2$  

Obliczamy pole ściany bocznej:

$P_{\Delta }=\frac{1}{2}ah$  

$P_{\Delta }=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 3\sqrt{3}=9\sqrt{3}{\text{cm}}^2$  

Obliczamy pole powierzchni całkowitej:

$P_c=P_p+P_b=P_p+4P_{\Delta }=36+4\cdot 9\sqrt{3}=36+36\sqrt{3}=36\left(1+\sqrt{3}\right){\text{cm}}^2$   

Odp. Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa wynosi  $36\left(1+\sqrt{3}\right){\text{cm}}^2.$   

 

$\text{b)}$  Rysunek pomocniczy:

 

Podstawą ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest trójkąt równoboczny. Obliczymy długość krawędzi podstawy:

$3a=24\text{/}:3$   

$a=8\text{cm}$  

Ścianą boczną ostrosłupa jest trójkąt równoramienny. Jego obwód wynosi:

$Ob=a+2b$   

Obliczamy długość krawędzi bocznej:

$a+2b=18$  

$8+2b=18$  

$2b=10\text{/}:2$  

$b=5\text{cm}$  

Obliczamy długość wysokości ściany bocznej $h.$  W tym celu korzystamy z twierdzenia Pitagorasa

dla trójkąta  $ADW:$  

${\left(\frac{a}{2}\right)}^2+h^2=b^2$  

$4^2+h^2=5^2$  

$16+h^2=25$  

$h^2=9$  

$h=3\text{cm}$  

Obliczamy pole podstawy:

$P_p=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$  

$P_p=\frac{8^2\sqrt{3}}{4}=\frac{64\sqrt{3}}{4}=16\sqrt{3}{\text{cm}}^2$  

Obliczamy pole ściany bocznej:

$P_{\Delta }=\frac{1}{2}ah$  

$P_{\Delta }=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 3=12{\text{cm}}^2$  

Obliczamy pole powierzchni całkowitej:          

$P_c=P_p+P_b=P_p+3P_{\Delta }=16\sqrt{3}+3\cdot 12=\left(36+16\sqrt{3}\right){\text{cm}}^2$  

Odp. Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa wynosi  $\left(36+16\sqrt{3}\right){\text{cm}}^2.$  

 

$\text{c)}$  Rysunek pomocniczy:

Podstawą ostrosłupa jest sześciokąt foremny. Obliczamy długość krawędzi podstawy:

$6a=24\text{/}:6$  

$a=4\text{cm}$  

Ścianą boczną ostrosłupa jest trójkąt równoramienny. Obliczamy długość krawędzi bocznej:

$a+2b=18$  

$4+2b=18$  

$2b=14\text{/}:2$   

$b=7\text{cm}$   

Obliczamy długość wysokości ściany bocznej $h-$  korzystamy z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta  $GDW:$  

$h^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2=b^2$  

$h^2+2^2=7^2$  

$h^2+4=49$          

$h^2=45$  

$h=3\sqrt{5}\text{cm}$  

Obliczamy pole podstawy ostrosłupa [jest to suma pól sześciu trójkątów równobocznych o boku długości $a$ ]       

$P_p=6\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$  

$P_p=\frac{3\cdot 4^2\sqrt{3}}{2}=24\sqrt{3}{\text{cm}}^2$  

Obliczamy pole ściany bocznej:  

$P_{\Delta }=\frac{1}{2}ah$  

$P_{\Delta }=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 3\sqrt{5}=6\sqrt{5}{\text{cm}}^2$  

Obliczamy pole powierzchni całkowitej:  

$P_c=P_p+P_b=P_p+6P_{\Delta }=24\sqrt{3}+6\cdot 6\sqrt{5}=\left(24\sqrt{3}+36\sqrt{5}\right){\text{cm}}^2$  

Odp. Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa wynosi  $\left(24\sqrt{3}+36\sqrt{5}\right){\text{cm}}^2.$