$\text{a)}$  Rysunek pomocniczy:

 

Najpierw obliczymy długość odcinka oznaczonego na rysunku jako  $x.$  

Skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa:

$6^2+4^2=x^2$  

$36+16=x^2$  

$x^2=52$  

$x=2\sqrt{13}\text{cm}$  

Po sklejeniu siatki graniastosłup będzie miał po dwie krawędzie długości: $4\text{cm},6\text{cm},2\sqrt{13}\text{cm}$         

oraz trzy krawędzie długości  $8\text{cm.}$  Przykładowy rysunek siatki po sklejeniu:

Obliczamy sumę długości wszystkich krawędzi:

$2\cdot 4+2\cdot 6+2\cdot 2\sqrt{13}+3\cdot 8=8+12+24+4\sqrt{13}=\left(44+4\sqrt{13}\right)\text{cm}$   

Obliczamy pole podstawy:

$P_p=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 6=2\cdot 6=12{\text{cm}}^2$  

Obliczamy objętość: 

$V=P_p\cdot H=12\cdot 8=96{\text{cm}}^3$   

Odp. Długość wszystkich krawędzi wynosi  $\left(44+4\sqrt{13}\right)\text{cm,}$  a objętość  $96{\text{cm}}^3.$    

 

$\text{b)}$  Rysunek pomocniczy:

 

Po podpisaniu brakujących krawędzi możemy stwierdzić, że figura w podstawie graniastosłupa jest rombem.

Aby obliczyć pole podstawy, będziemy chcieli skorzystać ze wzoru

$P=\frac{1}{2}\cdot p\cdot d,$  

gdzie $p$  i  $d$  to przekątne rombu.

W naszym zadaniu jedną z przekątnych mamy już podaną, a drugą oznaczyliśmy na rysunku jako $2x.$  

Będziemy teraz wyznaczać $x.$  W tym celu zastosujemy twierdzenie Pitagorasa do trójkąta z zaznaczonym kątem prostym. 

Wiemy, że w rombie przekątne przecinają się w połowie, zatem połowa czerwonego odcinka będzie miała długość  $3\text{cm.}$  

Mamy więc:

$x^2+3^2=5^2$  

$x^2+9=25$  

$x^2=25-9$  

$x^2=16$  

$x=4\text{cm}$  

Czyli długość całej przekątnej $2x$  będzie miała długość:

$2x=8\text{cm}$  

Po sklejeniu siatki graniastosłup będzie miał $8$  krawędzi podstawy długości  $5\text{cm}$  oraz  $4$  krawędzie boczne długości  $7\text{cm.}$  

Obliczamy sumę długości wszystkich krawędzi:

$8\cdot 5+4\cdot 7=40+28=68\text{cm}$  

Wysokością graniastosłupa będzie krawędź boczna, czyli

$H=7\text{cm}$  

Obliczamy pole podstawy:      

$P_p=\frac{1}{2}\cdot 2x\cdot 6=x\cdot 6=4\cdot 6=24{\text{cm}}^2$   

Obliczamy objętość:

$V=P_p\cdot H=24\cdot 7=168{\text{cm}}^3$  

Odp. Suma długości wszystkich krawędzi wynosi  $68\text{cm},$  a objętość  $168{\text{cm}}^3.$