$\text{a)}$  Rysunek pomocniczy:

Mamy:

$r=5\text{cm}$  

$H=12\text{cm}$  

Wyznaczmy obwód podstawy walca - będzie on minimalną długością kawałka tektury:

$L=2\pi r$  

$L=2\pi \cdot 5=10\pi \approx 10\cdot 3,14=31,4\text{cm}=3,14\text{dm}$  

Zauważmy, że minimalna szerokość tektury to co najmniej  $4r+H,$  (ponieważ walec ma dwie podstawy w kształcie koła każda o średnicy $2r$  ) czyli:

$4r+H=4\cdot 5+12=20+12=32\text{cm}=3,2\text{dm}$  

Otrzymaliśmy, że minimalne wymiary kawałka tektury, z jakiego można wyciąć 

taką siatkę to  $3,14\text{dm}\times 3,2\text{dm}.$ Wymiary są mniejsze lub równe   $3,2\text{dm},$  co należało dowieść.

 

$\text{b)}$  Przyda nam się rysunek przekroju osiowego stożka:

  

Mamy:

$r=5\text{cm}$  

$h=12\text{cm}$  

We wzorze na pole powierzchni bocznej mamy długość tworzącej stożka, więc musimy ją wyznaczyć.

Skorzystamy w tym celu z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta $WSB:$  

$h^2+r^2=l^2$  

${12}^2+5^2=l^2$  

$144+25=l^2$  

$169=l^2$  

$l=13\text{cm}$  

Pole powierzchni siatki będzie takie samo jak pole powierzchni całkowitej stożka.

Obliczamy pole podstawy stożka:

$P_p=\pi r^2$  

$P_p=\pi \cdot 5^2=25\pi {\text{cm}}^2$  

Obliczamy pole powierzchni bocznej stożka:

$P_b=\pi rl$  

$P_b=\pi \cdot 5\cdot 13=65\pi {\text{cm}}^2$  

Obliczamy pole powierzchni całkowitej stożka:

$P_C=P_p+P_b$  

$P_c=25\pi +65\pi =90\pi {\text{cm}}^2$  

Odp. Pole powierzchni siatki tego stożka będzie równe  $90\pi {\text{cm}}^2.$