Przyda nam się rysunek pomocniczy przekroju osiowego stożka:

$\text{a)}$  Mamy:

$h=12\text{cm}$   

$r=9\text{cm}$     

Wyznaczmy długość tworzącej stożka, korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta  $WSB:$  

$h^2+r^2=l^2$  

${12}^2+9^2=l^2$  

$144+81=l^2$  

$225=l^2$  

$l=15\text{cm}$  

Obliczamy pole podstawy stożka:

$P_p=\pi r^2$  

$P_p=\pi \cdot 9^2=81\pi {\text{cm}}^2$  

Obliczamy pole powierzchni bocznej stożka:

$P_b=\pi rl$  

$P_b=\pi \cdot 9\cdot 15=135\pi {\text{cm}}^2$      

Obliczamy pole powierzchni całkowitej stożka:

$P_C=P_p+P_b$  

$P_C=81\pi +135\pi =216\pi {\text{cm}}^2$     

 Obliczamy objętość stożka:

$V=\frac{1}{3}{P}_p\cdot h$  

$V=\frac{1}{3}\cdot 81\pi \cdot 12=27\pi \cdot 12=324\pi {\text{cm}}^3$   

Odp. Pole powierzchni całkowitej stożka wynosi  $216\pi {\text{cm}}^2,$  a objętość jest równa  $324\pi {\text{cm}}^3.$   

 

$\text{b)}$  Mamy:

$h=6\text{cm}$   

$d=6\text{cm}\Rightarrow r=3\text{cm}$     

Wyznaczmy długość tworzącej stożka, korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta  $WSB:$  

$h^2+r^2=l^2$  

$6^2+3^2=l^2$  

$36+9=l^2$  

$45=l^2$  

$l=3\sqrt{5}\text{cm}$  

Obliczamy pole podstawy stożka:

$P_p=\pi r^2$  

$P_p=\pi \cdot 3^2=9\pi {\text{cm}}^2$  

Obliczamy pole powierzchni bocznej stożka:

$P_b=\pi rl$  

$P_b=\pi \cdot 3\cdot 3\sqrt{5}=9\pi \sqrt{5}{\text{cm}}^2$      

Obliczamy pole powierzchni całkowitej stożka:

$P_C=P_p+P_b$  

$P_C=9\pi +9\pi \sqrt{5}=9\left(1+\sqrt{5}\right)\pi {\text{cm}}^2$     

 Obliczamy objętość stożka:

$V=\frac{1}{3}{P}_p\cdot h$  

$V=\frac{1}{3}\cdot 9\pi \cdot 6=3\pi \cdot 6=18\pi {\text{cm}}^3$   

Odp. Pole powierzchni całkowitej stożka wynosi  $9\left(1+\sqrt{5}\right)\pi {\text{cm}}^2,$  a objętość jest równa  $18\pi {\text{cm}}^3.$   

 

$\text{c)}$  Mamy:

$l=17\text{cm}$   

$r=8\text{cm}$     

Wyznaczmy długość wysokości stożka, korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta  $WSB:$  

$h^2+r^2=l^2$  

$h^2+8^2={17}^2$  

$h^{+}64=289$  

$h^2=289-64$  

$h^2=225$  

$h=15\text{cm}$  

Obliczamy pole podstawy stożka:

$P_p=\pi r^2$  

$P_p=\pi \cdot 8^2=64\pi {\text{cm}}^2$  

Obliczamy pole powierzchni bocznej stożka:

$P_b=\pi rl$  

$P_b=\pi \cdot 8\cdot 17=136\pi {\text{cm}}^2$      

Obliczamy pole powierzchni całkowitej stożka:

$P_C=P_p+P_b$  

$P_C=64\pi +136\pi =200\pi {\text{cm}}^2$     

 Obliczamy objętość stożka:

$V=\frac{1}{3}{P}_p\cdot h$  

$V=\frac{1}{3}\cdot 64\pi \cdot 15=64\pi \cdot 5=320\pi {\text{cm}}^3$   

Odp. Pole powierzchni całkowitej stożka wynosi  $200\pi {\text{cm}}^2,$  a objętość jest równa  $320\pi {\text{cm}}^3.$