$\text{a)}$  Mamy:

$h=5\text{cm}-$  wysokość walca z góry

$d=2\text{cm}-$  średnica podstawy walca z góry

$r=\frac{d}{2}=\frac{2}{2}=1\text{cm}-$  promień podstawy walca z góry

$H=3\text{cm}-$  wysokość drugiego walca

$D=8\text{cm}-$  średnica podstawy drugiego walca

$R=\frac{D}{2}=\frac{8}{2}=4\text{cm}-$  promień podstawy drugiego walca  

Objętość powstałej bryły będzie sumą objętości tych dwóch walców.

Obliczamy objętość pierwszego walca:

$V_1=\pi r^2\cdot h$  

$V_1=\pi \cdot 1^2\cdot 5=5\pi {\text{cm}}^3$  

Obliczamy objętość drugiego walca:

$V_2=\pi R^2\cdot H$     

$V_2=\pi \cdot 4^2\cdot 3=\pi \cdot 16\cdot 3=48\pi {\text{cm}}^3$  

Obliczamy objętość bryły:

$V=V_1+V_2$  

$V=5\pi +48\pi =53\pi {\text{cm}}^3$  

Pole powierzchni całkowitej powstałej bryły będzie sumą pól powierzchni całkowitych tych dwóch walców,

pomniejszoną o dwukrotność pola podstawy walca z góry.

Obliczamy pole podstawy pierwszego walca:

$P_{p_1}=\pi r^2$  

$P_{p_1}=\pi \cdot 1^2=\pi {\text{cm}}^2$  

Obliczamy pole powierzchni bocznej pierwszego walca:

$P_{b_1}=2\pi rh$  

$P_{b_1}=2\pi \cdot 1\cdot 5=10\pi {\text{cm}}^2$      

Obliczamy pole powierzchni całkowitej pierwszego walca:

$P_{C_1}=2P_{p_1}+P_{b_1}$  

$P_{C_1}=2\cdot \pi +10\pi =12\pi {\text{cm}}^2$     

Obliczamy pole podstawy drugiego walca:

$P_{p_2}=\pi R^2$  

$P_{p_2}=\pi \cdot 4^2=16\pi {\text{cm}}^2$  

Obliczamy pole powierzchni bocznej drugiego walca:

$P_{b_2}=2\pi RH$  

$P_{b_2}=2\pi \cdot 4\cdot 3=24\pi {\text{cm}}^2$      

Obliczamy pole powierzchni całkowitej drugiego walca:

$P_{C_2}=2P_{p_2}+P_{b_2}$   

$P_{C_2}=2\cdot 16\pi +24\pi =32\pi +24\pi =56\pi {\text{cm}}^2$   

Obliczamy pole powierzchni całkowitej bryły:

$P_C=P_{C_1}+P_{C_2}-2P_{p_1}$     

$P_C=12\pi +56\pi -2\cdot \pi =68\pi -2\pi =66\pi {\text{cm}}^2$   

Odp. Objętość bryły jest równa  $53\pi {\text{cm}}^3,$  a pole powierzchni całkowitej wynosi  $66\pi {\text{cm}}^2.$    

 

$\text{b)}$  Mamy:

$h=6\text{cm}-$  wysokość stożka

$d=6\text{cm}-$  średnica stożka

$r=\frac{d}{2}=\frac{6}{2}=3\text{cm}-$  promień podstawy stożka

$H=4\text{cm}-$  wysokość walca

$D=8\text{cm}-$  średnica podstawy walca      

$R=\frac{D}{2}=-\frac{8}{2}=4\text{cm}-$  promień podstawy walca

Przyda nam się rysunek pomocniczy przekroju osiowego stożka: 

Wyznaczmy długość tworzącej stożka, korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta  $SBW:$  

$h^2+r^2=l^2$  

$6^2+3^2=l^2$  

$36+9=l^2$  

$45=l^2$  

$l=3\sqrt{5}\text{cm}$  

Objętość powstałej bryły będzie sumą objętości stożka i walca.

Obliczamy objętość walca:

$V_1=\pi R^2\cdot H$  

$V_1=\pi \cdot 4^2\cdot 4=\pi \cdot 16\cdot 4=64\pi {\text{cm}}^3$  

 Obliczamy objętość stożka:

$V_2=\frac{1}{3}\pi r^2\cdot h$  

$V_2=\frac{1}{{\sout{3}}^1}\pi \cdot 3^2\cdot {\sout{6}}^2=\pi \cdot 9\cdot 2=18\pi {\text{cm}}^3$     

Obliczamy objętość bryły:

$V=V_1+V_2$  

$V=64\pi +18\pi =82\pi {\text{cm}}^3$   

Pole powierzchni całkowitej powstałej bryły będzie sumą pól powierzchni całkowitych walca i stożka,

pomniejszoną o dwukrotność pola podstawy stożka.

Obliczamy pole podstawy walca:

$P_{p_1}=\pi R^2$  

$P_{p_1}=\pi \cdot 4^2=16\pi {\text{cm}}^2$  

Obliczamy pole powierzchni bocznej walca:

$P_{b_1}=2\pi RH$  

$P_{b_1}=2\pi \cdot 4\cdot 4=2\pi \cdot 16=32\pi {\text{cm}}^2$      

Obliczamy pole powierzchni walca:

$P_{C_1}=2P_{p_1}+P_{b_1}$  

$P_{C_1}=2\cdot 16\pi +32\pi =32+32=64\pi {\text{cm}}^2$     

Obliczamy pole podstawy stożka:

$P_{p_2}=\pi r^2$  

$P_{p_2}=\pi \cdot 3^2=9\pi {\text{cm}}^2$  

Obliczamy pole powierzchni bocznej stożka:

$P_{b_2}=\pi rl$  

$P_{b_2}=\pi \cdot 3\cdot 3\sqrt{5}=9\sqrt{5}\pi {\text{cm}}^2$      

Obliczamy pole powierzchni całkowitej stożka:

$P_{C_2}=P_{p_2}+P_{b_2}$  

$P_{C_2}=\left(9\pi +9\sqrt{5}\pi \right){\text{cm}}^2$     

Obliczamy pole powierzchni całkowitej bryły:

$P_C=P_{C_1}+P_{C_2}-2P_{p_2}$     

$P_C=64\pi +9\pi +9\sqrt{5}\pi -2\cdot 9\pi =73\pi +9\sqrt{5}\pi -18\pi =55\pi +9\sqrt{5}\pi =\left(55+9\sqrt{5}\right)\pi {\text{cm}}^2$   

Odp. Objętość bryły jest równa  $82\pi {\text{cm}}^3,$  a pole powierzchni całkowitej wynosi  $\left(55+9\sqrt{5}\right)\pi {\text{cm}}^2.$    

 

$\text{c)}$  Niech indeksy  $1$  oznaczają walec na samej górze,  $2-$  walec drugi od góry, a  $3-$  walec na samym dole.

Mamy:

$h_1=4\text{cm}$  

$d_1=2\text{cm}$  

$r_1=\frac{d_1}{2}=\frac{2}{2}=1\text{cm}$  

$h_2=3\text{cm}$  

$d_2=4\text{cm}$  

$r_2=\frac{d_2}{2}=\frac{4}{2}=2\text{cm}$  

$h_3=2\text{cm}$  

$d_3=8\text{cm}$  

$r_3=\frac{d_3}{2}=\frac{8}{2}=4\text{cm}$  

Objętość powstałej bryły będzie sumą objętości tych trzech walców.

Obliczamy objętość pierwszego walca:

$V_1=\pi r_1^2\cdot h_1$  

$V_1=\pi \cdot 1^2\cdot 4=4\pi {\text{cm}}^3$  

Obliczamy objętość drugiego walca:

$V_2=\pi r_2^2\cdot h_2$     

$V_2=\pi \cdot 2^2\cdot 3=\pi \cdot 4\cdot 3=12\pi {\text{cm}}^3$  

Obliczamy objętość trzeciego walca:

$V_3=\pi r_3^2\cdot h_3$     

$V_3=\pi \cdot 4^2\cdot 2=\pi \cdot 16\cdot 2=32\pi {\text{cm}}^3$  

Obliczamy objętość bryły:

$V=V_1+V_2+V_3$  

$V=4\pi +12\pi +32\pi =48\pi {\text{cm}}^3$  

Pole powierzchni całkowitej powstałej bryły będzie sumą pól powierzchni całkowitych tych trzech walców,

pomniejszoną o sumę dwukrotności pól podstawy walca pierwszego i drugiego.

Obliczamy pole podstawy pierwszego walca:

$P_{p_1}=\pi r_1^2$  

$P_{p_1}=\pi \cdot 1^2=\pi {\text{cm}}^2$  

Obliczamy pole powierzchni bocznej pierwszego walca:

$P_{b_1}=2\pi r_1{h}_1$  

$P_{b_1}=2\pi \cdot 1\cdot 4=8\pi {\text{cm}}^2$      

Obliczamy pole powierzchni całkowitej pierwszego walca:

$P_{C_1}=2P_{p_1}+P_{b_1}$  

$P_{C_1}=2\cdot \pi +8\pi =10\pi {\text{cm}}^2$     

Obliczamy pole podstawy drugiego walca:

$P_{p_2}=\pi r_2^2$  

$P_{p_2}=\pi \cdot 2^2=4\pi {\text{cm}}^2$  

Obliczamy pole powierzchni bocznej drugiego walca:

$P_{b_2}=2\pi r_2{h}_2$  

$P_{b_2}=2\pi \cdot 2\cdot 3=12\pi {\text{cm}}^2$      

Obliczamy pole powierzchni całkowitej drugiego walca:

$P_{C_2}=2P_{p_2}+P_{b_2}$   

$P_{C_2}=2\cdot 4\pi +12\pi =8\pi +12\pi =20\pi {\text{cm}}^2$   

Obliczamy pole podstawy trzeciego walca:

$P_{p_3}=\pi r_3^2$  

$P_{p_3}=\pi \cdot 4^2=16\pi {\text{cm}}^2$  

Obliczamy pole powierzchni bocznej trzeciego walca:

$P_{b_3}=2\pi r_3{h}_3$  

$P_{b_3}=2\pi \cdot 4\cdot 2=16\pi {\text{cm}}^2$      

Obliczamy pole powierzchni całkowitej trzeciego walca:

$P_{C_3}=2P_{p_3}+P_{b_3}$   

$P_{C_3}=2\cdot 16\pi +16\pi =32\pi +16\pi =48\pi {\text{cm}}^2$

Obliczamy pole powierzchni całkowitej bryły:

$P_C=P_{C_1}+P_{C_2}+P_{C_3}-\left(2P_{p_1}+2P_{p_2}\right)$     

$P_C=10\pi +20\pi +48\pi -\left(2\cdot \pi +2\cdot 4\pi \right)=78\pi -\left(2\pi +8\pi \right)=78\pi -10\pi =68\pi {\text{cm}}^2$   

Odp. Objętość bryły jest równa  $48\pi {\text{cm}}^3,$  a pole powierzchni całkowitej wynosi  $68\pi {\text{cm}}^2.$