$\text{a)}$  Objętość bryły jest równa sumie objętości walca i objętości półkuli.

Pole powierzchni bryły jest równe sumie pola powierzchni bocznej walca, pola podstawy walca

i połowy pola powierzchni kuli. 

Mamy:

$r=6\text{cm}$  

$H=8\text{cm}$  

Obliczamy pole podstawy walca:

$P_p=\pi r^2$  

$P_p=\pi \cdot 6^2=36\pi {\text{cm}}^2$  

Obliczamy pole powierzchni bocznej walca:

$P_b=2\pi rH$  

$P_b=2\pi \cdot 6\cdot 8=2\pi \cdot 48=96\pi {\text{cm}}^2$  

Obliczamy pole powierzchni kuli:

$P_K=4\pi r^2$  

$P_K=4\pi \cdot 6^2=4\pi \cdot 36=144\pi {\text{cm}}^2$  

Obliczamy pole powierzchni całkowitej bryły:

$P_c=P_p+P_b+\frac{1}{2}{P}_K$  

$P_c=36\pi +96\pi +\frac{1}{2}\cdot 144\pi =132\pi +72\pi =204\pi {\text{cm}}^2$  

Obliczamy objętość walca:

$V_W=P_p\cdot H$  

$V_W=36\pi \cdot 8=288\pi {\text{cm}}^3$  

Obliczamy objętość półkuli:

$V_P=\frac{2}{3}\pi r^3$  

$V_P=\frac{2}{3}\pi \cdot 6^3=\frac{2}{{\sout{3}}^1}\pi \cdot {\sout{216}}^{72}=144\pi {\text{cm}}^3$  

Obliczamy objętość bryły: 

$V=V_W+V_P$   

$V=288\pi +144\pi =432\pi {\text{cm}}^3$  

Odp. Pole powierzchni całkowitej bryły jest równe  $204\pi {\text{cm}}^2,$  a objętość wynosi  $432\pi {\text{cm}}^3.$  

 

$\text{b)}$  Objętość bryły jest równa sumie objętości stożka i walca.    

Pole powierzchni całkowitej bryły jest równe sumie pola podstawy walca, pola powierzchni bocznej walca

i pola powierzchni bocznej stożka. 

Mamy:

$r=6\text{cm}$  

$H=6\text{cm}-$ wysokość walca 

Zauważmy, że długość tworzącej stożka jest równa przekątnej kwadratu o boku równym  $r,$  więc ma długość:

$l=r\sqrt{2}$  

$l=6\sqrt{2}\text{cm}$  

Natomiast wysokość stożka jest równa  $r.$  

Obliczamy pole podstawy walca:

$P_p=\pi r^2$  

$P_p=\pi \cdot 6^2=36\pi {\text{cm}}^2$  

Obliczamy pole powierzchni bocznej walca:

$P_b=2\pi rH$  

$P_b=2\pi \cdot 6\cdot 6=2\pi \cdot 36=72\pi {\text{cm}}^2$  

Obliczamy pole powierzchni bocznej stożka:

$P_s=\pi rl$  

$P_s=\pi \cdot 6\cdot 6\sqrt{2}=36\sqrt{2}\pi {\text{cm}}^2$   

Obliczamy pole powierzchni całkowitej bryły:

$P_c=P_p+P_b+P_s$  

$P_c=36\pi +72\pi +36\sqrt{2}\pi =108\pi +36\sqrt{2}\pi =36\left(3+\sqrt{2}\right)\pi {\text{cm}}^2$  

Obliczamy objętość walca:

$V_W=P_p\cdot H$  

$V_W=36\pi \cdot 6=216\pi {\text{cm}}^3$  

Obliczamy objętość stożka:

$V_S=\frac{1}{3}\pi r^2\cdot r=\frac{1}{3}\pi r^3$  

$V_S=\frac{1}{3}\pi \cdot 6^3=\frac{1}{{\sout{3}}^1}\pi \cdot {\sout{216}}^{72}=72\pi {\text{cm}}^3$  

Obliczamy objętość bryły: 

$V=V_W+V_S$  

$V=216\pi +72\pi =288\pi {\text{cm}}^3$  

Odp. Pole powierzchni całkowitej bryły jest równe  $36\left(3+\sqrt{2}\right)\pi {\text{cm}}^2,$  a objętość wynosi  $288\pi {\text{cm}}^3.$

 

$\text{c)}$  Objętość bryły jest równa sumie objętości stożka i objętości półkuli.

Pole powierzchni całkowitej bryły jest równe sumie pola powierzchni bocznej stożka i połowie pola powierzchni 

bocznej kuli.

Mamy:

$r=6\text{cm}$  

Zauważmy, ze przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o boku  $a.$  Mamy:

$a=2r$  

$a=2\cdot 6=12\text{cm}$  

Obliczamy wysokość stożka:

$H=\frac{a\sqrt{3}}{2}$      

$H=\frac{12\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}\text{cm}$  

Obliczamy pole powierzchni kuli:

$P_K=4\pi r^2$  

$P_K=4\pi \cdot 6^2=4\pi \cdot 36=144\pi {\text{cm}}^2$  

Obliczamy pole powierzchni bocznej stożka:

$P_s=\pi ra$  

$P_s=\pi \cdot 6\cdot 12=72\pi {\text{cm}}^2$   

Obliczamy pole powierzchni całkowitej bryły:

$P_c=\frac{1}{2}{P}_K+P_s$  

$P_c=\frac{1}{2}\cdot 144\pi +72\pi =72\pi +72\pi =144\pi {\text{cm}}^2$  

Obliczamy objętość półkuli:

$V_P=\frac{2}{3}\pi r^3$  

$V_P=\frac{2}{3}\pi \cdot 6^3=\frac{2}{{\sout{3}}^1}\pi \cdot {\sout{216}}^{72}=144\pi {\text{cm}}^3$  

Obliczamy objętość stożka:

$V_S=\frac{1}{3}\pi r^2\cdot H$   

$V_S=\frac{1}{3}\pi \cdot 6^2\cdot 6\sqrt{3}=\frac{1}{{\sout{3}}^1}\pi \cdot {\sout{216}}^{72}\sqrt{3}=72\sqrt{3}\pi {\text{cm}}^3$  

Obliczamy objętość bryły: 

$V=V_P+V_S$  

$V=144\pi +72\sqrt{3}\pi =72\left(2+\sqrt{3}\right)\pi {\text{cm}}^3$  

Odp. Pole powierzchni całkowitej bryły jest równe  $144\pi {\text{cm}}^2,$  a objętość wynosi  $72\left(2+\sqrt{3}\right)\pi {\text{cm}}^3.$