Zacieniowany wielokąt jest częścią prostokąta...- Zadanie 13: Matematyka z plusem 7

Rozwiązanie

$a)$ Rysunek pomocniczy:

Obliczymy pole wielokąta jako różnicę pola prostokąta i sumy pól zamalowanych trójkątów.

Obliczamy pole prostokąta:

$P_{□} = 20 \cdot 10 = 200$

Obliczamy pole $P_{1} :$

$P_{1} = \frac{1}{2} \cdot 2 a \cdot (20 - a) = a (20 - a) = 20 a - a^{2}$

Obliczamy pole $P_{2} :$

$P_{2} = \frac{1}{2} \cdot 4 a \cdot (10 - 2 a) = 2 a (10 - 2 a) = 20 a - 4 a^{2}$

Obliczamy pole $P_{3} :$

$P_{3} = \frac{1}{2} \cdot 3 a \cdot (20 - 4 a) = \frac{3}{2} a (20 - 4 a) = 30 a - 6 a^{2}$

Obliczamy pole $P_{4} :$

$P_{4} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot (10 - 3 a) = \frac{a}{2} (10 - 3 a) = 5 a - \frac{3}{2} a^{2}$

Obliczamy pole wielokąta:

$P_{W} = P_{□} - (P_{1} + P_{2} + P_{3} + P_{4})$

$P_{W} = 200 - (20 a - a^{2} + 20 a - 4 a^{2} + 30 a - 6 a^{2} + 5 a - \frac{3}{2} a^{2}) = 200 - (75 a - 12 \frac{1}{2} a^{2}) = 12 \frac{1}{2} a^{2} - 75 a + 200$

$b)$ Rysunek pomocniczy:

Obliczymy pole wielokąta jako różnicę pola prostokąta i sumy pól zamalowanych trójkątów.

Obliczamy pole prostokąta:

$P_{□} = 20 \cdot 10 = 200$

Obliczamy pole $P_{1} :$

$P_{1} = \frac{1}{2} \cdot 2 b \cdot (10 - a) = b (10 - a) = 10 b - a b$

Obliczamy pole $P_{2} :$

$P_{2} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot (20 - 3 a) = \frac{a}{2} (20 - 3 a) = 10 a - \frac{3}{2} a^{2}$

Obliczamy pole $P_{3} :$

$P_{3} = \frac{1}{2} \cdot 3 a \cdot (10 - b) = \frac{3}{2} a (10 - b) = 15 a - \frac{3}{2} a b$

Obliczamy pole $P_{4} :$

$P_{4} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot (20 - 2 b) = \frac{b}{2} (20 - 2 b) = 10 b - b^{2}$

Obliczamy pole wielokąta:

$P_{W} = P_{□} - (P_{1} + P_{2} + P_{3} + P_{4})$

$P_{W} = 200 - 10 b - \underline{\underline{\underline{a b}}} + \underline{10 a} - \frac{3}{2} a^{2} + \underline{15 a} - \underline{\underline{\underline{\frac{3}{2} a b}}} - 10 b - b^{2}) =$

$= 200 - (- \frac{3}{2} a^{2} + 25 a - \frac{5}{2} a b - b^{2}) = 200 + \frac{3}{2} a^{2} - 25 a + \frac{5}{2} a b + b^{2}$

$c)$ Rysunek pomocniczy:

Obliczymy pole wielokąta jako różnicę pola prostokąta i sumy pól zamalowanych trójkątów oraz trapezu.

Obliczamy pole prostokąta:

$P_{□} = 20 \cdot 10 = 200$

Obliczamy pole $P_{1} :$

$P_{1} = \frac{1}{2} \cdot 3 a \cdot (10 - 4 a) = \frac{3}{2} a (10 - 4 a) = 15 a - 6 a^{2}$

Obliczamy pole $P_{2} :$

$P_{2} = \frac{1}{2} \cdot 4 a \cdot (20 - 9 a) = 2 a (20 - 9 a) = 40 a - 18 a^{2}$

Obliczamy pole trapezu $P_{3} :$

$P_{3} = \frac{2 a + 4 a}{2} \cdot 10 = 6 a \cdot 5 = 30 a$

Obliczamy pole wielokąta:

$P_{W} = P_{□} - (P_{1} + P_{2} + P_{3})$

$P_{W} = 200 - (15 a - 6 a^{2} + 40 a - 18 a^{2} + 30 a) = 200 - (85 a - 24 a^{2}) = 24 a^{2} - 85 a + 200$

$d)$ Rysunek pomocniczy:

Obliczymy pole wielokąta jako różnicę pola prostokąta i sumy pól zamalowanych trójkątów oraz trapezu.

Obliczamy pole prostokąta:

$P_{□} = 20 \cdot 10 = 200$

Obliczamy pole $P_{1} :$

$P_{1} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot (10 - 4 a) = \frac{b}{2} (10 - 4 a) = 5 b - 2 a b$

Obliczamy pole $P_{2} :$

$P_{2} = \frac{1}{2} \cdot 4 a \cdot b = 2 a b$

Obliczamy pole trapezu $P_{3} :$

$P_{3} = \frac{3 a + 20 - b}{2} \cdot 10 = (3 a - b + 20) \cdot 5 = 15 a - 5 b + 100$

Obliczamy pole wielokąta:

$P_{W} = P_{□} - (P_{1} + P_{2} + P_{3})$

$P_{W} = 200 - (5 b - 2 a b + 2 a b + 15 a - 5 b + 100) = 200 - (15 a + 100) = 200 - 15 a - 100 = 100 - 15 a$

Dagmara Kowalczuk

Nauczycielka matematyki

Zobacz lekcje, które wyjaśnią temat krok po kroku:

Pole i obwód trójkąta

Premium

8:44

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Pola i obwody czworokątów

Premium

6:59

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Twierdzenie Pitagorasa

Premium

3:16

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.