$\text{a)}$  Rysunek pomocniczy bryły  $\text{A}:$   

$a=4$  

$b=2$  

$c=6$  

Objętość bryły obliczymy jako sumę objętości prostopadłościanu  $ABCDEFGI$  oraz ostrosłupa  $EFGIW.$  

Obliczamy objętość prostopadłościanu:    

$V_1=a^{2}b$  

$V_1=4^2\cdot 2=16\cdot 2=32$    

Do obliczenia objętości ostrosłupa potrzebna nam będzie jego wysokość. Wyznaczymy ją, korzystając z twierdzenia

Pitagorasa dla trójkąta  $WSG:$  

$H^2+{\left(\frac{p}{2}\right)}^2=c^2$  

$H^2+{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2=c^2$  

$H^2+{\left(2\sqrt{2}\right)}^2=6^2$  

$H^2=36-8$  

$H^2=28$  

$H=2\sqrt{7}$  

Obliczamy objętość ostrosłupa:

$V_2=\frac{1}{3}{a}^{2}H$  

$V_2=\frac{1}{3}\cdot 4^2\cdot 2\sqrt{7}=\frac{32\sqrt{7}}{3}$  

Obliczamy objętość bryły  $\text{A}:$   

$V_A=V_1+V_2$  

$V_A=32+\frac{32\sqrt{7}}{3}$  

Odp. Objętość bryły  $\text{A}$   jest równa  $32\left(1+\frac{\sqrt{7}}{3}\right).$  

 

Rysunek pomocniczy bryły  $\text{B}:$                 

$a=9$  

$b=2$  

$c=9$  

Objętość bryły obliczymy jako sumę objętości graniastosłupa  $ABCDEF$  oraz ostrosłupa  $DEFW.$  

Obliczamy objętość graniastosłupa: 

 

$V_1=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot b$   

$V_1=\frac{9^2\sqrt{3}}{4}\cdot 2=\frac{81\sqrt{3}}{2}$  

Do obliczenia objętości ostrosłupa potrzebna nam będzie jego wysokość.

Zauważmy najpierw, że ostrosłup jest prawidłowy, więc jego podstawą jest trójkąt równoboczny o boku  $a.$   

Przypomnijmy, że jeżeli ostrosłup ma w podstawie trójkąt równoboczny, to spodek wysokości tego ostrosłupa

dzieli wysokości $h$  trójkąta z podstawy na odcinki o długości  $\frac{2}{3}h$  i  $\frac{1}{3}h,$  licząc od wierzchołka.   

Wiemy, że

$h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$  

Wyznaczamy wysokość ostrosłupa, korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta  $DSW:$  

${\left(\frac{2}{3}h\right)}^2+H^2=c^2$  

${\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)}^2+H^2=c^2$  

$\frac{a^2}{3}+H^2=c^2$  

$\frac{9^2}{3}+H^2=9^2$  

$H^2=81-27$  

$H^2=54$  

$H=3\sqrt{6}$         

Obliczamy objętość ostrosłupa:

$V_2=\frac{1}{3}\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot H$    

$V_2=\frac{9^2\sqrt{12}}{4}\cdot 3\sqrt{6}=\frac{81\sqrt{18}}{4}=\frac{243\sqrt{2}}{4}$  

Obliczamy objętość bryły  $\text{B}:$   

$V_B=V_1+V_2$  

$V_B=\frac{81\sqrt{3}}{2}+\frac{243\sqrt{2}}{4}$  

Odp. Objętość bryły  $\text{B}$   jest równa  $\frac{81\sqrt{3}}{2}+\frac{243\sqrt{2}}{4}.$  

 

$\text{b)}$  Rysunek pomocniczy bryły  $\text{C:}$   

  

$a=6$  

$b=H=8$  

Objętość bryły obliczymy jako różnicę objętości graniastosłupa  $ABCDEF$  i objętości ostrosłupa  $DEFS.$    

Obliczamy objętość graniastosłupa  $ABCDEF:$     

$V_1=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot b$  

$V_1=\frac{36\sqrt{3}}{4}\cdot 8=72\sqrt{3}$  

Obliczamy objętość ostrosłupa  $DEFS:$  

$V_2=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot H$  

$V_2=\frac{1}{12}\cdot 36\sqrt{3}\cdot 8=24\sqrt{3}$  

Obliczamy objętość bryły  $\text{C:}$    

$V_3=V_1-V_2$  

$V_3=72\sqrt{3}-24\sqrt{3}=48\sqrt{3}$  

Odp. Objętość bryły  $\text{C}$  jest równa  $48\sqrt{3}.$    

 

Rysunek pomocniczy bryły  $\text{D:}$  

  

$a=6$  

$b=10$  

$h=5$  

$x=b-h$  

$x=5$      

Objętość bryły  $\text{D}$  obliczymy jako różnice objętości graniastosłupa  $ABCDEFGH$  i objętości ostrosłupa  $EFGHQ.$  

Obliczamy objętość graniastosłupa  $ABCDEFGH:$   

$V_1=a^{2}b$  

$V_1=6^2\cdot 10=360$  

Obliczamy objętość ostrosłupa  $EFGHQ:$  

$V_2=\frac{1}{3}{a}^{2}x$  

$V_2=\frac{1}{3}\cdot 6^2\cdot 5=12\cdot 5=60$  

Obliczamy objętość bryły  $\text{D}:$  

$V_3=V_1-V_2$  

$V_3=360-60=300$  

Odp. Objętość bryły  $\text{D}$  jest równa  $300.$  

 

$\text{c)}$  Pole powierzchni całkowitej bryły  $\text{D}$  obliczymy następująco:

$P_c=P_{ABCDEFGH}-P_p+P_b$  

$P_p$  to pole podstawy ostrosłupa  $EFGHQ,$  a  $P_b$  to jego pole powierzchni bocznej.    

Obliczamy pole powierzchni całkowitej graniastosłupa  $ABCDEFGH:$  

$P_{ABCDEFGH}=2a^2+4ab$  

$P_{ABCDEFGH}=2\cdot 6^2+4\cdot 6\cdot 10=72+240=312$   

W dalszej części przyda nam się rysunek pomocniczy ostrosłupa:

Obliczamy pole podstawy ostrosłupa:

$P_{{\square }_{EFGH}}=a^2$  

$P_{{\square }_{EFGH}}=6^2=36$  

Obliczamy długość krawędzi bocznej ostrosłupa, korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta  $QPG:$       

$x^2+{\left(\frac{p}{2}\right)}^2=q^2$  

$x^2+{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2=q^2$  

$5^2+{\left(3\sqrt{2}\right)}^2=q^2$  

$25+18=q^2$  

$43=q^2$  

$q=\sqrt{43}$  

Obliczamy wysokość ściany bocznej, korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta  $QTG:$    

$y^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2=q^2$  

$y^2+3^2={\sqrt{43}}^2$  

$y^2=43-9$  

$y^2=34$  

$y=\sqrt{34}$  

Obliczamy pole powierzchni bocznej ostrosłupa:

$P_b=4\cdot \frac{1}{2}ay$  

$P_b=2\cdot 6\cdot \sqrt{34}=12\sqrt{34}$  

Obliczamy pole powierzchni całkowitej bryły  $\text{D}:$          

$P_c=312-36+12\sqrt{34}=276+12\sqrt{34}$  

Odp. Pole powierzchni całkowitej bryły  $\text{D}$  jest równe  $276+12\sqrt{34}.$