$\text{a)}$  Rysunek pomocniczy:

 

$\left|DB\right|=9$  

$\left|CD\right|=5$  

$\Delta ABC$  jest podobny do   $\Delta DBC-$  trójkąty prostokątne o tym samym kącie ostrym $\alpha .$

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta  $DBC$  wyznaczamy długość odcinka  $BC:$   

${\left|CD\right|}^2+{\left|DB\right|}^2={\left|BC\right|}^2$  

$5^2+9^2={\left|BC\right|}^2$  

$25+81={\left|BC\right|}^2$  

$106={\left|BC\right|}^2$  

$\left|BC\right|=\sqrt{106}$  

Z podobieństwa trójkątów  $ABC$  i  $DBC$  zachodzi proporcja:

$\frac{\left|AB\right|}{\left|BC\right|}=\frac{\left|BC\right|}{\left|DB\right|}$  

Wstawiamy znane wartości i wyznaczamy średnice okręgu:

$\frac{\left|AB\right|}{\sqrt{106}}=\frac{\sqrt{106}}{9}$  

$9\cdot \left|AB\right|=106\text{/}:9$  

$\left|AB\right|=11\frac{7}{9}$  

Odp. Średnica okręgu jest równa  $11\frac{7}{9}.$   

 

$\text{b)}$  Rysunek pomocniczy: 

    

$\left|DB\right|=4,5$   

$\left|CD\right|=6$  

Zauważmy, że  $\Delta DBC$  i  $\Delta ADC$  są podobne - trójkąty prostokątne o takich samych kątach ostrych.   

Wyznaczymy długość przeciwprostokątnej trójkąta  $DBC,$  korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla tego trójkąta:

${\left|CD\right|}^2+{\left|DB\right|}^2={\left|CB\right|}^2$  

$6^2+{4,5}^2={\left|CB\right|}^2$  

$36+20,25={\left|CB\right|}^2$       

$56,25={\left|CB\right|}^2$  

$\left|CB\right|=7,5$  

Z podobieństwa trójkątów  $DBC$  i  $ADC$  zachodzi proporcja:

$\frac{\left|DB\right|}{\left|CB\right|}=\frac{\left|CD\right|}{\left|AC\right|}$  

Wstawiamy znane wartości i  wyznaczamy długość średnicy okręgu:

$\frac{4,5}{7,5}=\frac{6}{\left|AC\right|}$  

$4,5\cdot \left|AC\right|=6\cdot 7,5\text{/}:4,5$  

$\left|AC\right|=10$     

Odp. Średnica okręgu jest równa  $10.$