Trójkąt równoboczny - rysunek pomocniczy:

Trójkąt ABC jest trójkątem równobocznym, stąd długości jego boków są takie same oraz miary kątów są równe 60°:

$\left|AB\right|=\left|BC\right|=\left|AC\right|$  

$\left|\angle CAB\right|=\left|\angle ABC\right|=\left|\angle BCA\right|={60}^{\circ }$    

Wierzchołki sześciokąta dzielą boki trójkąta na trzy równe części, czyli:

$\left|AD\right|=\left|DE\right|=\left|EB\right|=\left|BF\right|=\left|FG\right|=\left|GC\right|=\left|CH\right|=\left|HJ\right|=\left|JA\right|$  

Trójkąty ADJ, BFE i CHG są więc przystającymi trójkątami równoramiennym o kącie między ramionami o mierze 60°.

Wynika to z cechy bkb - ramiona są w każdym z trójkątów równej długości oraz kąt między ramionami jest o równej mierze. 

W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie mają taką samą miarę. 

Obliczamy jakie miary mają kąty leżące przy podstawach trójkątów ADJ, BFE i CHG. 

$\left({180}^{\circ }-{60}^{\circ }\right):2={120}^{\circ }:2={60}^{\circ }$   

Kąty przy podstawach trójkątów ADJ, BFE i CHG mają miarę 60°.

Trójkąty ADJ, BFE i CHG są więc trójkątami równobocznym (wszystkie ich kąty mają miarę 60°).

Zatem:

$\left|JD\right|=\left|DE\right|=\left|EF\right|=\left|FG\right|=\left|GH\right|=\left|HJ\right|$  

Wszystkie boki sześciokąta DEFGHJ mają więc taką samą długość.

Wszystkie kąty wewnetrznę sześciokąta DEFGHJ są kątami przyległymi do kątów o mierze 60°. 

Oznacza to, że wszystkie kąty sześciokąta mają taką samą miarę.  

Sześciokąt DEFGHJ jest sześciokątem foremnym.

---

---

Kwadrat - rysunek pomocniczy:

Czworokąt ABCD jest kwadratem, czyli jego boki są równej długości oraz miary kątów wewnętrznych wynoszą 90°:

$\left|AB\right|=\left|BC\right|=\left|CD\right|=\left|AD\right|$   

$\left|\angle MAE\right|=\left|\angle FBG\right|=\left|\angle HCJ\right|=\left|\angle KDL\right|={90}^{\circ }$   

Wierzchołki ośmiokąta dzielą boki kwadratu na trzy równe części, czyli:

$\left|AE\right|=\left|EF\right|=\left|FB\right|=\left|BG\right|=\left|GH\right|=\left|HC\right|=\left|CJ\right|=\left|JK\right|=\left|KD\right|=\left|DL\right|=\left|LM\right|=\left|MA\right|=a$   

Trójkąty MAE, FBG, HCJ i KDL są więc przystającymi trójkątami prostokątnymi równoramiennymi.

Wnioskujemy to na podstawie cecha bkb - ramiona tych trójkątów mają równą długość, kąt między ramionami tych trójkątów ma miarę 90°. 

Wyznaczamy miary kątów przy podstawach tych trójkątów:

$\left({180}^{\circ }-{90}^{\circ }\right):2={90}^{\circ }:2={45}^{\circ }$  

Kąty trójkątów MAE, FBG, HCJ i KDL mają więc miary 45°, 45° i 90°. 

Korzystając z zależności między bokami w trójkącie o kątach 45°, 45° i 90° otrzymujemy:

$\left|ME\right|=\left|FG\right|=\left|HJ\right|=\left|KL\right|=\left|AE\right|\cdot \sqrt{2}=a\sqrt{2}$  

Boki EF, GH, KJ i LM ośmiokąta mają długość a. Boki ME, FG, HJ i KL mają długość a√2. 

Boki ośmiokąta EFGHJKLM nie mają takiej samej długości. 

Oznacza to, że ośmiokąt EFGHJKLM nie jest ośmiokątem foremnym.