Skoro prosta m tworzy z osią x kąt o mierze 30^o to znaczy, że:

$\mathrm{tg}{30}^o=a$  

a to współczynnik kierunkowy prostej m.

$a=\mathrm{tg}{30}^o=\frac{\sqrt{3}}{3}$   

 

$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x+b$  

Wstawmy współrzędne punktu P:

$-1=\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot 3+b$  

$-1=\sqrt{3}+b$  

$b=-1-\sqrt{3}$  

 

$m:y=\frac{\sqrt{3}}{3}x-1-\sqrt{3}$  

Prosta m przecina oś x w punkcie:

$0=\frac{\sqrt{3}}{3}x-1-\sqrt{3}$  

$1+\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}x$  

$3+3\sqrt{3}=\sqrt{3}x\mid :\sqrt{3}$  

$x=\frac{3+3\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$  

 

Prosta k:

$k:y=cx+d$  

Skoro są prostopadłe to:

$c\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}=-1$  

$c=-\frac{3}{\sqrt{3}}$  

$c=-\sqrt{3}$  

 

Prosta k przecina oś x w tym samym punkcie co prosta m.

$y=-\sqrt{3}x+d$  

$0=-\sqrt{3}\cdot \frac{3+3\sqrt{3}}{\sqrt{3}}+d$  

$0=-\left(3+3\sqrt{3}\right)+d$  

$d=3+3\sqrt{3}$  

 

$k:y=-\sqrt{3}x+3+3\sqrt{3}$  

 

 

b) Długości przyprostokątnych:

$A=\left(\frac{3+3\sqrt{3}}{\sqrt{3}},0\right)=\left(\frac{3}{\sqrt{3}}+3,0\right)$  

$B=\left(0,3+3\sqrt{3}\right)$  

$C=\left(0,-1-\sqrt{3}\right)$  

 

$\left|AB\right|=\sqrt{{\left(\frac{3}{\sqrt{3}}+3\right)}^2+{\left(3+3\sqrt{3}\right)}^2}=\sqrt{3+\frac{18}{\sqrt{3}}+9+9+18\sqrt{3}+27}=\sqrt{48+18\sqrt{3}+\frac{18\sqrt{3}}{3}}=\sqrt{48+24\sqrt{3}}$  

$\left|AC\right|=\sqrt{{\left(\frac{3}{\sqrt{3}}+3\right)}^2+{\left(-1-\sqrt{3}\right)}^2}=\sqrt{3+\frac{18}{\sqrt{3}}+9+1+2\sqrt{3}+3}=\sqrt{16+8\sqrt{3}}$  

 

Pole:

$P=\frac{1}{2}\cdot \left|AB\right|\cdot \left|AC\right|=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{\left(48+24\sqrt{3}\right)\left(16+8\sqrt{3}\right)}=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{24\left(2+\sqrt{3}\right)\cdot 8\left(2+\sqrt{3}\right)}=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{192{\left(2+\sqrt{3}\right)}^2}$  

$=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{64\cdot 3{\left(2+\sqrt{3}\right)}^2}=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot \sqrt{3}\cdot \left(2+\sqrt{3}\right)=4\sqrt{3}\left(2+\sqrt{3}\right)=8\sqrt{3}+12$