Ciąg (a_n) jest ciągiem geometrycznym, gdy spełniony jest warunek:

$q=\frac{a_{n+1}}{a_n}=const$  

---

$\text{a)}{a}_n=2^{n+2}$  

$a_{n+1}=2^{n+1+2}=2^{n+3}$  

$q=\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{2^{n+3}}{2^{n+2}}=2$  

Ciąg (a_n) jest ciągiem geometrycznym.

---

$\text{b)}{a}_n=2n-3$  

$a_{n+1}=2\left(n+1\right)-3=2n+2-3=2n-1$  

$q=\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{2n-1}{2n-3}$  

Wartość ilorazu q zależy od n, więc ciąg (a_n) nie jest ciągiem geometrycznym.

---

$\text{c)}{a}_n=\frac{1}{4n}-1=\frac{1-4n}{4n}$  

$a_{n+1}=\frac{1-4\left(n+1\right)}{4\left(n+1\right)}=\frac{1-4n-4}{4n+4}=\frac{-4n-3}{4n+4}$  

$q=\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{-4n+3}{4n+4}\cdot \frac{4n}{1-4n}=\frac{-4n+3}{4\left(n+1\right)}\cdot \frac{4n}{1-4n}=\frac{n\left(-4n+3\right)}{\left(n+1\right)\left(1-4n\right)}=\frac{3n-4n^2}{1-3n-4n^2}$  

Wartość ilorazu q zależy od n, więc ciąg (a_n) nie jest ciągiem geometrycznym.

---

$\text{d)}{a}_n=4\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^n$  

$a_{n+1}=4\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^{n+1}$  

$q=\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{4\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^{n+1}}{4\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^n}=4\cdot \frac{2}{3}=\frac{8}{3}$  

Ciąg (a_n) jest ciągiem geometrycznym.