Wykonaj działania, wynik podaj w postaci nieskracalnej...- Zadanie 103: Matematyka poznać, zrozumieć 2. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Rozwiązanie

$a) (\frac{x - 8}{x + 8} - \frac{x + 8}{x - 8}) : \frac{16 x}{64 - x ^{2}}$

Wyznaczamy dziedzinę wyrażenia:

$x + 8 \neq = 0 \land x - 8 \neq = 0 \land \frac{16 x}{64 - x ^{2}} \neq = 0 \land 64 - x^{2} \neq = 0$

$x \neq = - 8 \land x \neq = 8 \land 16 x \neq = 0 \land x^{2} \neq = 64$

$x \neq = - 8 \land x \neq = 8 \land x \neq = 0$

$D = R \ {- 8, 0, 8}$

Wykonujemy działania:

$(\frac{x - 8}{x + 8} - \frac{x + 8}{x - 8}) : \frac{16 x}{64 - x ^{2}} = (\frac{( x - 8 ) ^{2}}{( x - 8 ) ( x + 8 )} - \frac{( x + 8 ) ^{2}}{( x - 8 ) ( x + 8 )}) \cdot \frac{64 - x ^{2}}{16 x} =$

$= \frac{( x - 8 ) ^{2} - ( x + 8 ) ^{2}}{( x - 8 ) ( x + 8 )} \cdot \frac{( - 1 ) \cdot ( x ^{2} - 64 )}{16 x} =$

$= \frac{x ^{2} - 16 x + 64 - ( x ^{2} + 16 x + 64 )}{x ^{2} - 64} \cdot \frac{( - 1 ) \cdot ( x ^{2} - 64 )}{16 x} =$

$= - \frac{x ^{2} - 16 x + 64 - x ^{2} - 16 x - 64}{16 x} = - \frac{- 32 x}{16 x} = 2$

$b) \frac{3 m}{m - 3} + \frac{m + 5}{6 - 2 m} \cdot \frac{54}{5 m + m ^{2}}$

Wyznaczamy dziedzinę wyrażenia:

$m - 3 \neq = 0 \land 6 - 2 m \neq = 0 \land 5 m + m^{2} \neq = 0$

$m \neq = 3 \land 2 m \neq = 6 ∣ : 2 \land m (5 + m) \neq = 0$

$m \neq = 3 \land m \neq = 0 \land m \neq = - 5$

$D = R \ {- 5, 0, 3}$

Wykonujemy działania:

$\frac{3 m}{m - 3} + \frac{m + 5}{6 - 2 m} \cdot \frac{54}{5 m + m ^{2}} = \frac{3 m}{m - 3} + \frac{m + 5}{2 \cdot ( 3 - m )} \cdot \frac{54 ^{27}}{m \cdot ( 5 + m )} =$

$= \frac{3 m}{m - 3} + \frac{27}{m ( 3 - m )} = \frac{- 3 m ^{2}}{m ( 3 - m )} + \frac{27}{m ( 3 - m )} = \frac{- 3 m ^{2} + 27}{m ( 3 - m )} = \frac{3 ( 9 - m ^{2} )}{m ( 3 - m )} =$

$= \frac{3 \cdot ( 3 - m ) \cdot ( 3 + m )}{m \cdot ( 3 - m )} = \frac{3 ( m + 3 )}{m}$

$c) (\frac{x + 3}{x ^{2} - 1} - \frac{1}{x ^{2} + x}) : \frac{3 x + 3}{x ^{3} - x}$

Wyznaczamy dziedzinę wyrażenia:

$x^{2} - 1 \neq = 0 \land x^{2} + x \neq = 0 \land \frac{3 x + 3}{x ^{3} - x} \neq = 0 \land x^{3} - x \neq = 0$

$x^{2} \neq = 1 \land x (x + 1) \neq = 0 \land 3 (x + 1) \neq = 0 x (x^{2} - 1) \neq = 0$

$x \neq = - 1 \land x \neq = 1 \land x \neq = 0$

$D = R \ {- 1, 0, 1}$

Wykonujemy działania:

$(\frac{x + 3}{x ^{2} - 1} - \frac{1}{x ^{2} + x}) : \frac{3 x + 3}{x ^{3} - x} = (\frac{x + 3}{( x - 1 ) ( x + 1 )} - \frac{1}{x ( x + 1 )}) \cdot \frac{x ^{3} - x}{3 x + 3} =$

$= \frac{x ( x + 3 ) - ( x - 1 )}{x \cdot ( x - 1 ) ( x + 1 )} \cdot \frac{x \cdot ( x ^{2} - 1 )}{3 ( x + 1 )} = \frac{x ^{2} + 3 x - x + 1}{x ^{2} - 1} \cdot \frac{x ^{2} - 1}{3 ( x + 1 )} =$

$= \frac{x ^{2} + 2 x + 1}{3 ( x + 1 )} = \frac{( x + 1 ) ^{2^{1}}}{3 \cdot ( x + 1 )} = \frac{x + 1}{3}$

$d) (\frac{x - 2}{x + 2} - \frac{x + 2}{x - 2}) \cdot \frac{4 - x ^{2}}{12 x}$

Wyznaczamy dziedzinę wyrażenia:

$x + 2 \neq = 0 \land x - 2 \land 12 x \neq = 0$

$x \neq = - 2 \land x \neq = 2 \land x \neq = 0$

$D = R \ {- 2, 0, 2}$

Wykonujemy działania:

$(\frac{x - 2}{x + 2} - \frac{x + 2}{x - 2}) \cdot \frac{4 - x ^{2}}{12 x} = (\frac{( x - 2 ) ^{2}}{( x - 2 ) ( x + 2 )} - \frac{( x + 2 ) ^{2}}{( x - 2 ) ( x + 2 )}) \cdot \frac{( - 1 ) \cdot ( x ^{2} - 4 )}{12 x} =$

$= \frac{( x - 2 ) ^{2} - ( x + 2 ) ^{2}}{x ^{2} - 4} \cdot \frac{( - 1 ) \cdot ( x ^{2} - 4 )}{12 x} = - \frac{x ^{2} - 4 x + 4 - ( x ^{2} + 4 x + 4 )}{12 x} =$

$= - \frac{x ^{2} - 4 x + 4 - x ^{2} - 4 x - 4}{12 x} = - \frac{- 8 x}{12 x} = \frac{2}{3}$

$e) \frac{2 m}{m ^{2} - 1} : (\frac{1}{m ^{2} + 2 m + 1} - \frac{1}{1 - m ^{2}})$

Wyznaczamy dziedzinę wyrażenia:

$m^{2} - 1 \neq = 0 \land \frac{1}{m ^{2} + 2 m + 1} - \frac{1}{1 - m ^{2}} \neq = 0 \land m^{2} + 2 m + 1 \neq = 0 \land 1 - m^{2} \neq = 0$

$m^{2} \neq = 1 \land \frac{1}{( m + 1 ) ^{2}} - \frac{1}{( 1 - m ) ( 1 + m )} \neq = 0 ∣ \cdot (m + 1)^{2} (1 - m) \neq = 0 \land (m + 1)^{2} \neq = 0$

$m \neq = 1 \land m \neq = - 1 \land 1 - m - (m + 1) \neq = 0$

$m \neq = 1 \land m \neq = - 1 \land 1 - m - m - 1 \neq = 0$

$m \neq = 1 \land m \neq = - 1 \land - 2 m \neq = 0$

$m \neq = 1 \land m \neq = - 1 \land m \neq = 0$

$D = R \ {- 1, 0, 1}$

Wykonujemy działania:

$\frac{2 m}{m ^{2} - 1} : (\frac{1}{m ^{2} + 2 m + 1} - \frac{1}{1 - m ^{2}}) = \frac{2 m}{m ^{2} - 1} : (\frac{1}{( m + 1 ) ^{2}} - \frac{1}{( 1 - m ) ( 1 + m )}) =$

$= \frac{2 m}{m ^{2} - 1} : (\frac{1 - m}{( 1 - m ) ( m + 1 ) ^{2}} - \frac{m + 1}{( 1 - m ) ( m + 1 ) ^{2}}) =$

$= \frac{2 m}{m ^{2} - 1} : \frac{1 - m - m - 1}{( 1 - m ) ( m + 1 ) ^{2}} = \frac{2 m}{m ^{2} - 1} : \frac{- 2 m}{( 1 - m ) ( m + 1 ) ^{2}} =$

$= \frac{2 m}{( m - 1 ) \cdot ( m + 1 )} \cdot \frac{( m - 1 ) \cdot ( m + 1 ) ^{2^{1}}}{2 m} = m + 1$

$f) (\frac{1}{m ^{2} - 6 m + 9} - \frac{1}{9 - m ^{2}}) : \frac{2 m}{m ^{2} - 9}$

Wyznaczamy dziedzinę wyrażenia:

$m^{2} - 6 m + 9 \neq = 0 \land m^{2} - 9 \neq = 0 \land \frac{2 m}{m ^{2} - 9} \neq = 0$

$(m - 3)^{2} \neq = 0 \land m^{2} \neq = 9 \land 2 m \neq = 0$

$m - 3 \neq = 0 \land m \neq = 3 \land m \neq = - 3 \land m \neq = 0$

$m \neq = 3 \land m \neq = - 3 \land m \neq = 0$

$D = R \ {- 3, 0, 3}$

Wykonujemy działania:

$(\frac{1}{m ^{2} - 6 m + 9} - \frac{1}{9 - m ^{2}}) : \frac{2 m}{m ^{2} - 9} = (\frac{1}{( m - 3 ) ^{2}} + \frac{1}{m ^{2} - 9}) \cdot \frac{m ^{2} - 9}{2 m} =$

$= (\frac{1}{( m - 3 ) ^{2}} + \frac{1}{( m + 3 ) ( m - 3 )}) \cdot \frac{m ^{2} - 9}{2 m} = \frac{( m + 3 ) + ( m - 3 )}{( m - 3 ) ^{2^{1}} \cdot ( m + 3 )} \cdot \frac{( m - 3 ) \cdot ( m + 3 )}{2 m} =$

$= \frac{2 m}{( m - 3 ) \cdot 2 m} = \frac{1}{m - 3}$

Dagmara Kowalczuk

Nauczycielka matematyki

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.