a) Postać kierunkowa równania prostej:

$y=-x+4$  

 

Środek okręgu ma współrzędne:

$S=\left(x_0,-x_0+4\right)$  

 

Odległość punktu S od punktów A i B musi być taka sama:

$\left|AS\right|=\left|BS\right|$  

Stąd:

${\left|AS\right|}^2={\left|BS\right|}^2$  

${\left(x_0-1\right)}^2+{\left(-x_0+4-5\right)}^2={\left(x_0-5\right)}^2+{\left(-x_0+4-3\right)}^2$  

${\left(x_0-1\right)}^2+{\left(-x_0-1\right)}^2={\left(x_0-5\right)}^2+{\left(-x_0+1\right)}^2$  

${\left(x_0-1\right)}^2+{\left(x_0+1\right)}^2={\left(x_0-5\right)}^2+{\left(x_0-1\right)}^2\mid -{\left(x_0-1\right)}^2$  

${\left(x_0+1\right)}^2={\left(x_0-5\right)}^2$  

$x_0^2+2x_0+1=x_0^2-10x_0+25$  

$12x_0=24$  

$x_0=2$  

A więc:

$S=\left(2,-2+4\right)=\left(2,2\right)$  

 

Długość promienia:

$r=\left|AS\right|=\sqrt{{\left(2-1\right)}^2+{\left(2-5\right)}^2}=\sqrt{1+{\left(-3\right)}^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$  

 

Równanie okręgu:

${\left(x-2\right)}^2+{\left(x-2\right)}^2=10$  

 

b) Jeżeli wybierzemy tak punkt C, żeby odcinek AC był średnicą okręgu to trójkąt będzie prostokątny.

$\overrightarrow{AS}=\overrightarrow{SC}$  

$\left[2-1,2-5\right]=\left[x_C-2,y_C-2\right]$  

$\left[1,-3\right]=\left[x_C-2,y_C-2\right]$  

Porównajmy współrzędne:

$\{\begin{array}{l}{x}_C-2=1\\ y_C-2=-3\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{x}_C=3\\ y_C=-1\end{array}$  

Stąd:

$C=\left(3,-1\right)$  

 

Istnieją dwa takie trójkąty, jeden gdy odcinek AC jest średnicą okręgu a drugi gdy odcinek BC jest średnicą okręgu.