Rysunek poglądowy:

Niech:

$\left|BD\right|<\left|AC\right|$  

Wtedy:

$\left|BD\right|=e,\left|AC\right|=2e$  

 

Przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym i połowią się. Trójkąt ABE jest prostokątny, z twierdzenia Pitagorasa:

${\left|AE\right|}^2+{\left|BE\right|}^2={\left|AB\right|}^2$  

$e^2+{\left(\frac{1}{2}e\right)}^2={\left|AB\right|}^2$  

$e^2+\frac{1}{4}{e}^2={\left|AB\right|}^2$  

${\left|AB\right|}^2=\frac{5}{4}{e}^2$  

$\left|AB\right|=\frac{\sqrt{5}}{2}e$  

 

Obwód rombu:

$O=4\cdot \left|AB\right|=4\cdot \frac{\sqrt{5}}{2}e=2\sqrt{5}e$  

 

Stosunek długości krótszej przekątnej do obwodu rombu:

$\frac{\left|BD\right|}{O}=\frac{e}{2\sqrt{5}e}=\frac{1}{2\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{10}$  

A więc stosunek wynosi:

$\sqrt{5}:10$  

I. P

 

 

Stosunek długości dłuższej przekątnej do długości boku jest równy:

$\frac{\left|AC\right|}{\left|AB\right|}=\frac{2e}{\frac{\sqrt{5}}{2}e}=2\cdot \frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{4}{\sqrt{5}}$  

A więc stosunek wynosi:

$4:\sqrt{5}$  

II. P

 

Pole rombu jest równe czterokrotności pola trójkąta ABE:

$P=4\cdot P_{ABE}=4\cdot \frac{1}{2}\cdot \left|AE\right|\cdot \left|BE\right|=2\cdot e\cdot \frac{1}{2}e=e^2$  

Kwadrat długości krótszej przekątnej jest równy:

${\left|BD\right|}^2=e^2$  

III. P

 

Z twierdzenia cosinusów w trójkącie ABD:

${\left|BD\right|}^2={\left|AB\right|}^2+{\left|AD\right|}^2-2\cdot \left|AB\right|\cdot \left|AD\right|\cdot \cos \left(\left|\angle BAD\right|\right)$  

$e^2=\frac{5}{4}{e}^2+\frac{5}{4}{e}^2-2\cdot \frac{5}{4}{e}^2\cdot \cos \left(\left|\angle BAD\right|\right)$  

$e^2=\frac{5}{2}{e}^2-\frac{5}{2}{e}^2\cdot \cos \left(\left|\angle BAD\right|\right)\mid \cdot \frac{2}{5}$  

$\frac{2}{5}{e}^2=e^2-e^2\cdot \cos \left(\left|\angle BAD\right|\right)\mid :e^2$  

$\frac{2}{5}=1-\cos \left(\left|\angle BAD\right|\right)$  

$-\frac{3}{5}=-\cos \left(\left|\angle BAD\right|\right)$  

$\cos \left(\left|\angle BAD\right|\right)=\frac{3}{5}$  

IV. F