Miesięczne oprocentowanie konta wynosi:

$\frac{1}{4}\cdot 7,5\%=1,875\%$  

Dokonano n wpłat. Ostatnia wpłata nie podlega kapitalizacji, przedostatnia jest kapitalizowana raz, wcześniejsza -dwa razy itd. aż wreszcie pierwsza podlega kapitalizacji (n-1) razy.

Sumujemy wpłaty od końca o obliczamy stan konta:

$100+100\cdot \left(1+\frac{1}{4}\cdot \frac{7,5}{100}\right)+100\cdot {\left(1+\frac{1}{4}\cdot \frac{7,5}{100}\right)}^2+\dots +100\cdot {\left(1+\frac{1}{4}\cdot \frac{7,5}{100}\right)}^{n-1}=$  

$=100+100\cdot \left(1+\frac{7,5}{400}\right)+100\cdot {\left(1+\frac{7,5}{400}\right)}^2+\dots +100\cdot {\left(1+\frac{7,5}{400}\right)}^{n-1}$  

Jest to suma n wyrazów ciągu geometrycznego, w którym  $a_1=100,q=1+\frac{7,5}{400}$  

zatem:

$S_n=100\cdot \frac{1-{\left(1+\frac{7,5}{400}\right)}^n}{1-\left(1+\frac{7,5}{400}\right)}=100\cdot \frac{{\left(1+\frac{7,5}{400}\right)}^n-1}{\frac{7,5}{400}}=5333\frac{1}{3}\cdot \left({\left(1+\frac{7,5}{400}\right)}^n-1\right)$  

a) Z warunków zadania wiemy, że:

$S_n=5000$  

zatem:

$5000=5333\frac{1}{3}\cdot \left({\left(1+\frac{7,5}{400}\right)}^n-1\right)$  

$\frac{5000}{\frac{16000}{3}}={\left(1+\frac{7,5}{400}\right)}^n-1$  

$\frac{15000}{16000}={\left(1+\frac{7,5}{400}\right)}^n-1$  

$\frac{15}{16}={\left(1+\frac{7,5}{400}\right)}^n-1$  

$\frac{31}{16}={1,01875}^n$  

Logarytmujemy stronami powyższe równanie i otrzymujemy:

$\log \left(\frac{31}{16}\right)=\log {\left(1,01875\right)}^n$  

zatem:

$n\log \left(1,01875\right)=\log \left(\frac{31}{16}\right)$  

więc:

$n=\frac{\log \left(\frac{31}{16}\right)}{\log \left(1,01875\right)}$  

$n\approx 36$  

---

b) Z warunków zadania wiemy, że:

$S_n=10000$  

zatem:

$10000=5333\frac{1}{3}\left({\left(1+\frac{7,5}{400}\right)}^n-1\right)$  

$\frac{10000}{\frac{16000}{3}}={\left(1+\frac{7,5}{400}\right)}^n-1$  

$\frac{30000}{16000}={\left(1+\frac{7,5}{400}\right)}^n-1$  

$\frac{15}{8}={\left(1+\frac{7,5}{400}\right)}^n-1$  

$\frac{23}{8}={\left(1+\frac{7,5}{400}\right)}^n$  

$\frac{23}{8}={1,01875}^n$  

Logarytmujemy stronami powyższe równanie i otrzymujemy:

$\log \left(\frac{23}{8}\right)=\log {\left(1,01875\right)}^n$  

zatem:

$n\log \left(1,01875\right)=\log \left(\frac{23}{8}\right)$  

więc:

$n=\frac{\log \left(\frac{23}{8}\right)}{\log \left(1,01875\right)}$  

$n\approx 57$  

---

c) Z warunków zadania wiemy, że:

$S_n=15000$  

zatem:

$15000=5333\frac{1}{3}\left({\left(1+\frac{7,5}{400}\right)}^n-1\right)$  

$\frac{15000}{\frac{16000}{3}}={\left(1+\frac{7,5}{400}\right)}^n-1$  

$\frac{45000}{16000}={\left(1+\frac{7,5}{400}\right)}^n-1$  

$\frac{45}{16}={\left(1+\frac{7,5}{400}\right)}^n-1$  

$\frac{61}{16}={1,01875}^n$  

Logarytmujemy stronami powyższe równanie i otrzymujemy:

$\log \left(\frac{61}{16}\right)=\log {\left(1,01875\right)}^n$  

zatem:

$n\log \left(1,01875\right)=\log \left(\frac{61}{16}\right)$  

więc:

$n=\frac{\log \left(\frac{61}{16}\right)}{\log \left(1,01875\right)}$  

$n\approx 72$  

Odpowiedź: Nie, zauważmy, że między przypadkiem a i b jest różnica 21 lat, natomiast między przypadkiem a i c jest różnica 36 lat.