a) Dziedzina:

$5^x-4>0$   

$5^x>4$  

$x>{\log }_{5}4$   

 

${\log }_5\left(5^x-4\right)=1-x$  

${\log }_5\left(5^x-4\right)={\log }_5\left(5^{1-x}\right)$  

Z uwagi na fakt, że funkcja logarytmiczna jest różnowartościowa:

$5^x-4=5^{1-x}$  

$5^x-4=\frac{5}{5^x}$  

Podstawienie pomocnicze:

$5^x=t,t\in \left(0,\infty \right)$  

 

$t-4=\frac{5}{t}\mid \cdot t$  

$t^2-4t=5$  

$t^2-4t-5=0$  

$t^2+t-5t-5=0$  

$t\left(t+1\right)-5\left(t+1\right)=0$  

$\left(t+1\right)\left(t-5\right)=0$  

$t_1=-1\vee t_2=5$  

Po uwzględnieniu dziedziny:

$5^x=5$  

Z uwagi na fakt że funkcja wykładnicza jest róznowartościowa:

$x=1$   

Rozwiązaniem równania jest liczba

$1$  

 

b) Założenie:

$x>0,x\ne 1$   

 

$x^{{\log }_{3}x-4}=3^{-3}$

Zlogarytmujmy obustronnie logarytmem o podstawie 3.

${\log }_3\left(x^{{\log }_{3}x-4}\right)={\log }_3\left(3^{-3}\right)$  

$\left({\log }_{3}x-4\right)\cdot {\log }_{3}x=-3$  

Podstawienie pomocnicze:

$t={\log }_{3}x$   

 

$\left(t-4\right)\cdot t=-3$  

$t^2-4t+3=0$  

$t^2-t-3t+3=0$  

$t\left(t-1\right)-3\left(t-1\right)=0$  

$\left(t-1\right)\left(t-3\right)=0$  

$t_1=1\vee t_2=3$  

Stąd

${\log }_{3}x=1\vee {\log }_{3}x=3$  

Z definicji logarytmu:

$x=3^1\vee x=3^3$  

$x_1=3\vee x_2=27$  

Rozwiązaniami równania są liczby:

$3,27$

 

$c)x^{{\log }_{2}x}=16$  

Założenie:

$x>0\wedge x\ne 1$  

 

Zlogarytmujmy równanie logarytmem o podstawie 2.

${\log }_2\left(x^{{\log }_{2}x}\right)={\log }_{2}16$  

${\log }_{2}x\cdot {\log }_{2}x=4$  

${\left({\log }_{2}x\right)}^2=4$  

${\log }_{2}x=2\vee {\log }_{2}x=-2$  

Z definicji logarytmu:

$x=2^2\vee x=2^{-2}$  

$x_1=4\vee x_2=\frac{1}{4}$  

Rozwiązaniami równania są liczby:

$\frac{1}{4},4$