I. 

$a_n={\left(-1\right)}^{2n+1}\cdot n^2$  

$a_1={\left(-1\right)}^{2\cdot 1+1}\cdot 1^2={\left(-1\right)}^3\cdot 1=-1$  

$a_2={\left(-1\right)}^{2\cdot 2+1}\cdot 2^2={\left(-1\right)}^5\cdot 4=-4$  

Odp. F

---

II. Aby ciąg był niemalejący musi być spełniony warunek  $a_{n+1}\ge a_n$  

$a_n=1-\frac{1}{n}$  

$a_{n+1}=1-\frac{1}{n+1}$  

 

$1-\frac{1}{n+1}\ge 1-\frac{1}{n}\mid -1$  

$-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n}\ge 0$  

$\frac{-1n}{n\left(n+1\right)}+\frac{n+1}{n\left(n+1\right)}\ge 0$  

$\frac{1}{n\left(n+1\right)}\ge 0\mid \cdot {\left(n\left(n+1\right)\right)}^2$  

$n\left(n+1\right)\ge 0$  

$n\in \left(-\infty ,-1>\cup <0,+\infty \right)$  

Dla każdego  $n\in {\text{N}}_{+}$  powyższa nierówność jest spełniona. 

Odp. P

---

III. Aby ciąg był rosnący musi być spełniony warunek  $a_{n+1}>a_n$  

$a_n=\frac{n-1}{n}$  

$a_{n+1}=\frac{n+1-1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$  

 

$\frac{n}{n+1}>\frac{n-1}{n}$  

$\frac{n}{n+1}-\frac{n-1}{n}>0$  

$\frac{n^2}{n\left(n+1\right)}-\frac{\left(n-1\right)\left(n+1\right)}{n\left(n+1\right)}>0$  

$\frac{n^2-\left(n^2-1\right)}{n\left(n+1\right)}>0$  

$\frac{n^2-n^2+1}{n\left(n+1\right)}>0$  

$\frac{1}{n\left(n+1\right)}>0\mid \cdot {\left(n\left(n+1\right)\right)}^2$  

$1n\left(n+1\right)>0$  

$n\in \left(-\infty ,-1\right)\cup \left(0,+\infty \right)$  

Dla każdego  $n\in {\text{N}}_{+}$  powyższa nierówność jest spełniona.

Odp. P

---

IV. Aby ciąg był stały musi być spełniony warunek  $a_{n+1}=a_n$  

$a_n={\left(-1\right)}^{2n}$  

$a_{n+1}={\left(-1\right)}^{2\left(n+1\right)}={\left(-1\right)}^{2n+2}$  

 

${\left(-1\right)}^{2n+2}={\left(-1\right)}^{2n}$  

$2n+2\text{oraz}2n$  są to liczby parzyste, wobec tego powyższe równość jest prawdziwa dla dowolnych  $n$   

Odp. P