W układzie współrzędnych narysujmy dowolną funkcję liniową przechodzącą przez punkt (0,0) (np. y=2x) - w prostej tej zawiera się ramię końcowe kąta.   

Rysunek:

Zauważmy, że punkty należące do tej prostej to np. A=(1,2), B=(2,4), C=(3,6), ..., M=(x, 2x).

Możemy zauważyć, że stosunek $\frac{y}{x}$   jest stały, ponieważ:

$\frac{y}{x}=\frac{2x}{x}=2$  

 

Wyznaczmy r, czyli odległość punktu M od punktu (0,0).

$r=\sqrt{{\left(x-0\right)}^2+{\left(2x-0\right)}^2}=\sqrt{x^2+4x^2}=\sqrt{5x^2}=\sqrt{5}x$  

Możemy zauważyć, że stosunek $\frac{x}{r}\text{i}\frac{y}{r}$   jest stały ponieważ:

$\frac{x}{r}=\frac{x}{\sqrt{5}x}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$  

$\frac{y}{r}=\frac{2x}{\sqrt{5}x}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$  

Zatem pokazaliśmy, że stosunki $\frac{y}{r},\frac{x}{r},\frac{y}{x}$   są stałe i nie zależą od wyboru punktu na tej prostej.

 

Podobne rozumowanie możemy przeprowadzić dla dowolnej prostej przechodzącej przez punkt (0,0). Prosta ta jest postaci y=ax, zatem punkty należące do tej prostej są postaci  $M=\left(x,ax\right).$  

Wyznaczmy r, czyli odległość punktu M od punktu (0,0).

$r=\sqrt{{\left(x-0\right)}^2+{\left(ax-0\right)}^2}=\sqrt{x^2+a^2{x}^2}=\sqrt{x^2\left(1+a^2\right)}=x\cdot \sqrt{1+a^2}$  

Zatem:

$\frac{x}{r}=\frac{x}{x\cdot \sqrt{1+a^2}}=\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}$  

$\frac{y}{r}=\frac{ax}{x\cdot \sqrt{1+a^2}}=\frac{a}{\sqrt{1+a^2}}$  

$\frac{y}{x}=\frac{ax}{x}=a$  

Zatem pokazaliśmy, że powyższe stosunki zależą jedynie od współczynnika kierunkowego a, zatem nie zależą od wyboru punktu P=(x,y) na tej prostej.