a) Weźmy dwie dowolne figury wypukłe X i Y. Przypomnijmy, że figurę nazywamy wypukłą wtedy, gdy dla dowolnych dwóch punktów A i B należących do tej figury, odcinek AB zawiera się w tej figurze.

Weźmy dowolne punkty A i B należące do części wspólnej figur X i Y (X ∩ Y). Chcemy pokazać, że odcinek AB zawiera się w części wspólnej figur X i Y.

Jeśli punkty A i B należą do części wspólnej, to punkty A i B muszą należeć do figury X oraz punkty A i B muszą należeć do figury Y.

$A,B\in X\cap Y\iff A,B\in X\wedge A,B\in Y$ $A,B\in X\cap Y\iff A,B\in X\wedge A,B\in Y$   

Punkty A i B należą do figury X, więc odcinek AB zawiera się w figurze X (ponieważ figura X jest figurą wypukłą).

Punkty A i B należą do figury Y, więc odcinek AB zawiera się w figurze Y (ponieważ figura Y jest figurą wypukłą).

Jeżeli odcinek AB zawiera się zarówno w figurze X i figurze Y, to zawiera się w części wspólnej tych figur.

$AB\subset X\wedge AB\subset Y\iff AB\subset \left(X\cap Y\right)$  

Pokazaliśmy, że odcinek AB zawiera się w figurze bedącej częścią wspólną figur X i Y, więc część wspólna tych figur jest zbiorem wypukły.

 

b) Suma dowolnych figur wypukłych nie musi być wypukła. Wystarczy np. wybrać dwie figury wypukłe, które są rozłączne.

Wówczas, jeżeli punkt A będzie należeć do pierwszej figury, a punkt B do drugiej figury, to znajdziemy odcinek, który nie zawiera się w sumie figur, co pokazuje rysunek:

 

Możemy także wybrać dwie figury, które mają część wspólną. Potrafimy jednak tak dobrać punkty A i B, aby odcinek AB nie zawierał się w sumie tych figur: