$\text{a)}{a}_n=2\cdot 3^n$  

Wyznaczmy wyraz a_n+1:

$a_{n+1}=2\cdot 3^{n+1}$  

Sprawdzamy, czy iloraz ciągu jest stały:

$q=\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{{\sout{2}}^1\cdot 3^{n+1}}{{\sout{2}}^1\cdot 3^n}=3^{n+1-n}=3^1=3$  

Iloraz jest stały dla każdego dodatniego, naturalnego n, więc ciąg (a_n) jest ciągiem geometrycznym.

 

$\text{b)}{a}_n=\frac{5^n}{6}$  

Wyznaczmy wyraz a_n+1:

$a_{n+1}=\frac{5^{n+1}}{6}$   

Sprawdzamy, czy iloraz ciągu jest stały:

$q=\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\frac{5^{n+1}}{6}}{\frac{5^n}{6}}=\frac{5^{n+1}}{{\sout{6}}^1}\cdot \frac{{\sout{6}}^1}{5^n}=\frac{5^{n+1}}{5^n}=5^{n+1-n}=5^1=5$   

Iloraz jest stały dla każdego dodatniego, naturalnego n, więc ciąg (a_n) jest ciągiem geometrycznym.

 

$\text{c)}{a}_n={\left(-\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$  

Wyznaczmy wyraz a_n+1:

$a_{n+1}={\left(-\frac{1}{2}\right)}^{n+1-1}={\left(-\frac{1}{2}\right)}^n$    

Sprawdzamy, czy iloraz ciągu jest stały:

$q=\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{{\left(-\frac{1}{2}\right)}^n}{{\left(-\frac{1}{2}\right)}^{n-1}}={\left(-\frac{1}{2}\right)}^{n-n+1}=-\frac{1}{2}$    

Iloraz jest stały dla każdego dodatniego, naturalnego n, więc ciąg (a_n) jest ciągiem geometrycznym.

 

$\text{d)}{a}_n=3^{2n-1}$  

Wyznaczmy wyraz a_n+1:

$a_{n+1}=3^{2\left(n+1\right)-1}=3^{2n+2-1}=3^{2n+1}$     

Sprawdzamy, czy iloraz ciągu jest stały:

$q=\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{3^{2n+1}}{3^{2n-1}}=3^{2n+1-2n+1}=3^2=9$   

Iloraz jest stały dla każdego dodatniego, naturalnego n, więc ciąg (a_n) jest ciągiem geometrycznym.