$\text{a)}-9,-7,-5,-3,-1,1,\dots$   

Wyraz pierwszy to:

$a_1=-9$    

Różnica:

$r=-3-\left(-5\right)=-3+5=2$   

Obliczmy n-ty wyraz tego ciągu:

$a_n=a_1+\left(n-1\right)\cdot r$  

$a_n=-9+\left(n-1\right)\cdot 2$  

$a_n=-9+2n-2$  

$a_n=-11+2n$   

Chcemy, aby suma n początkowych wyrazów była większa od 200, czyli:

$S_n>200$    

 

Podstawimy dane do wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego:

$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n>200$   

$\frac{-9-11+2n}{2}\cdot n>200$ $\frac{-9-11+2n}{2}\cdot n>200$   

$\frac{-20+2n}{2}\cdot n>200$   

$\left(-10+n\right)\cdot n>200$   

$-10n+n^2>200$    

$n^2-10n-200>0$    

Rozwiązujemy równanie kwadratowe n²-10n-200=0.

$n^2-10n-200=0$  

$\Delta ={\left(-10\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-200\right)=100+800=900$    

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{900}=30$   

$n_1=\frac{10-30}{2}=\frac{-20}{2}=-10\text{sprzeczne, gdyz˙}n\in {\mathbb{N}}_{+}$  

$n_2=\frac{10+30}{2}=\frac{40}{2}=20$  

Szkicujemy wykres funkcji f(n)=n²-10n-200:

Rozwiązaniem nierówności jest zbiór:
$n\in \left(-\infty ,-10\right)\cup \left(20,+\infty \right)$  

Po uwzględnieniu, że n jest naturalną liczbą dodatnią otrzymujemy zbiór:

$n\in \left\{21,22,23,24,\dots \right\}$   

Należy dodać co najmniej 21 wyrazów tego ciągu, aby otrzymać sumę większą niż 200.

$\underline{\underline{}}$  

$\text{b)}-4,-3,-2,-1,0,1,\dots$   

Wyraz pierwszy to:

$a_1=-4$     

Różnica:

$r=-1-\left(-2\right)=-1+2=1$   

Obliczmy n-ty wyraz tego ciągu:

$a_n=a_1+\left(n-1\right)\cdot r$  

$a_n=-4+\left(n-1\right)\cdot 1$  

$a_n=-4+n-1$   

$a_n=-5+n$    

Chcemy, aby suma n początkowych wyrazów była większa od 200, czyli:

$S_n>200$   

 

Podstawimy dane do wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego:

$\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n>200$    

$\frac{-4-5+n}{2}\cdot n>200$   

$\frac{-9+n}{2}\cdot n>200\mid \cdot 2$    

$\left(-9+n\right)\cdot n>400$    

$-9n+n^2>400$     

$n^2-9n-400>0$     

Rozwiązujemy równanie kwadratowe n²-9n-400=0.

$n^2-9n-400=0$    

$\Delta ={\left(-9\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-400\right)=81+1600=1681$    

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{1681}=41$    

$n_1=\frac{9-41}{2}=\frac{-32}{2}=-16\text{sprzeczne, gdyz˙}n\in {\mathbb{N}}_{+}$  

$n_2=\frac{9+41}{2}=\frac{50}{2}=25$  

Szkicujemy wykres funkcji f(n)=n²-9n-400:

Rozwiązaniem nierówności jest zbiór:
$n\in \left(-\infty ,-16\right)\cup \left(25,+\infty \right)$  

Po uwzględnieniu, że n jest naturalną liczbą dodatnią otrzymujemy zbiór:

$n\in \left\{26,27,28,29,\dots \right\}$    

Należy dodać co najmniej 26 wyrazów tego ciągu, aby otrzymać sumę większą niż 200.