Korzystamy z własności ciągu arytmetycznego:

Jeżeli a,b, c są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego to b=^a+c/₂.

 

$\text{a)}x+1,4x-1,3x+5$  

$4x-1=\frac{x+1+3x+5}{2}$  

$4x-1=\frac{4x+6}{2}$  

$4x-1=2x+3\mid -2x$  

$2x-1=3\mid +1$  

$2x=4\mid :2$  

$x=2$  

 

Kolejne wyrazy tego ciągu to:

$2+1,4\cdot 2-1,3\cdot 2+5$  

$3,7,11$    

Różnica ciągu to:

$r=11-7=4$  

$\underline{\underline{}}$

$\text{b)}-x,3x+1,-6-x$ $\text{b)}-x,3x+1,-6-x$  

$3x+1=\frac{-x+\left(-6-x\right)}{2}$  

$3x+1=\frac{-x-6-x}{2}$  

$3x+1=\frac{-2x-6}{2}$  

$3x+1=-x-3\mid +x$  

$4x+1=-3\mid -1$  

$4x=-4\mid :4$  

$x=-1$  

Kolejne wyrazy  ciągu to:

$-\left(-1\right),3\cdot \left(-1\right)+1,-6-\left(-1\right)$  

$1,-2,-5$     

$\underline{\underline{}}$  

  $\text{c)}x+3,x^2,4x$  

$x^2=\frac{x+3+4x}{2}$  

$x^2=\frac{5x+3}{2}\mid \cdot 2$  

$2x^2=5x+3\mid -5x$  

$2x^2-5x=3\mid -3$  

$2x^2-5x-3=0$  

$\Delta ={\left(-5\right)}^2-4\cdot 2\cdot \left(-3\right)=25+24=49$  

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{49}=7$  

$x_1=\frac{5-7}{4}=\frac{-2}{4}=-\frac{2}{4}=-\frac{1}{2}$   

$x_2=\frac{5+7}{4}=\frac{12}{4}=3$  

Możliwe są więc dwie odpowiedzi.

Kolejne wyrazy ciągu to (podstawiamy x₁ w miejsce x):

$-\frac{1}{2}+3,{\left(-\frac{1}{2}\right)}^2,4\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$   

$2\frac{1}{2},\frac{1}{4},-2$  

Różnica wynosi:

$r=-2-\frac{1}{4}=-2\frac{1}{4}$  

 

Kolejne wyrazy ciągu to (podstawiamy x₂ w miejsce x):

$3+3,3^2,4\cdot 3$   

$6,9,12$  

Różnica wynosi:

$r=12-9=3$  

$\underline{\underline{}}$  

$\text{d)}{x}^2+2,{\left(x+1\right)}^2,4x^2+1$  

${\left(x+1\right)}^2=\frac{x^2+2+4x^2+1}{2}$  

$x^2+2x+1=\frac{5x^2+3}{2}\mid \cdot 2$  

$2x^2+4x+2=5x^2+3\mid -5x^2-3$  

$-3x^2+4x-1=0$  

$\Delta =4^2-4\cdot \left(-3\right)\cdot \left(-1\right)=16-12=4$  

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{4}=2$  

$x_1=\frac{-4-2}{-6}=\frac{-6}{-6}=1$    

$x_2=\frac{-4+2}{-6}=\frac{-2}{-6}=\frac{1}{3}$   

Możliwe są dwie odpowiedzi.

Kolejne wyrazy ciągu to (podstawiamy x₁ w miejsce x):

$1^2+2,{\left(1+1\right)}^2,4\cdot 1^2+1$  

$3,4,5$  

Różnica wynosi:

$r=5-4=1$

 

 

Kolejne wyrazy ciągu to (podstawiamy x₂ w miejsce x):

${\left(\frac{1}{3}\right)}^2+2,{\left(\frac{1}{3}+1\right)}^2,4\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^2+1$   

$2\frac{1}{9},1\frac{7}{9},1\frac{4}{9}$   

Różnica wynosi:

$r=1\frac{4}{9}-1\frac{7}{9}=-\frac{3}{9}$