Matematyka

MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy (Zeszyt ćwiczeń, Nowa Era )

Wyznacz liczbę t>0 spełniającą podane ... 4.5 gwiazdek na podstawie 10 opinii
  1. Liceum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

`"a)"\ (2t-1)(2t+1)=2` 

Lewą stronę równania rozpisujemy korzystając ze wzoru skróconego mnożenia (a-b)(a+b)=a2-b2:

`(2t)^2-1^2=2` 

`4t^2-1=2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |+1` 

`4t^2=3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |:4` 

`t^2=3/4` 

`t=sqrt3/2` 

(Kąt `alpha` ma być kątem ostrym; sinus kąta ostrego ma wartość dodatnią, dlatego nie bierzemy pod uwagę rozwiązania ujemnego).

Szukamy kąta `alpha` , który spełnia równanie:

`sinalpha=t` 

`sinalpha=sqrt3/2` 

`alpha=60^@` 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`"b)"\ 2(t-1)^2+2(t+1)^2=5` 

Lewą stronę równania rozpisujemy korzystając ze wzorów skróconego mnożenia (a-b)2=a2-2ab+b2 oraz (a+b)2=a2+2ab+b2:

`2(t^2-2t+1)+2(t^2+2t+1)=5` 

`2t^2-4t+2+2t^2+4t+2=5` 

`4t^2+4=5\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \|-4` 

`4t^2=1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \|:4` 

`t^2=1/4` 

`t=1/2` 

(Kąt `alpha` ma być kątem ostrym; sinus kąta ostrego ma wartość dodatnią, dlatego nie bierzemy pod uwagę rozwiązania ujemnego).

Szukamy kąta `alpha` , który spełnia równanie:

`sinalpha=1/2` 

`alpha=30^@` 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`"c)"\ 2(t-1)^2=3-4t`  

Lewą stronę równania rozpisujemy korzystając ze wzoru skróconego mnożenia (a-b)2=a2-2ab+b2:

`2(t^2-2t+1)=3-4t`  

`2t^2-4t+2=3-4t\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |+4t`  

`2t^2+2=3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \|-2` 

`2t^2=1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \|:2` 

`t^2=1/2`  

`t=1/sqrt2=sqrt2/2`  

(Kąt `alpha` ma być kątem ostrym; sinus kąta ostrego ma wartość dodatnią, dlatego nie bierzemy pod uwagę rozwiązania ujemnego).

Szukamy kąta `alpha` , który spełnia równanie:

`sinalpha=sqrt2/2` 

`alpha=45^@` 

DYSKUSJA
user avatar
Zigi

13 maja 2018
dzięki
Informacje
Autorzy: Wojciech Babiański , Lech Chańko, Joanna Czarnowska
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile

Justyna

12361

Nauczyciel

Wiedza
Dodawanie ułamków zwykłych
  1. Dodawanie ułamków o jednakowych mianownikach – dodajemy liczniki, a mianownik pozostawiamy bez zmian.

    Przykład:

    • $$4/7+6/7={10}/7=1 3/7$$

      Uwaga

    Gdy w wyniku dodania ułamków otrzymamy ułamek niewłaściwy, warto wyłączyć z niego całości (jak w przykładzie powyższym).

    Często ułamek otrzymany w wyniku można skrócić, czyli podzielić licznik i mianownik przez tę samą liczbę (jak w przykładzie poniżej).

  2. Dodawanie ułamków o różnych mianownikach – najpierw sprowadzamy je do wspólnego mianownika (czyli tak je rozszerzamy lub skracamy, aby otrzymać w mianowniku taką samą liczbę), następnie wykonujemy dodawanie.

    Przykład:

    • $$3/10+ 1/5=3/{10}+ {1•2}/{5•2}=3/{10}+ 2/{10}=5/{10}={5÷5}/{10÷5}=1/2$$
       
  3. Dodawanie liczb mieszanych, których składniki ułamkowe mają takie same mianowniki.

    • I sposób – zamieniamy liczby mieszane na ułamki niewłaściwe, a następnie wykonujemy dodawanie ułamków o jednakowych mianownikach.

      $$2 1/3+ 1 1/3= {2•3+1}/3+{1•3+1}/3=7/3+4/3={11}/3=3 2/3$$
       
    • II sposób – oddzielnie dodajemy składniki całkowite i oddzielnie składniki ułamkowe, które mają identyczne mianowniki.

      Przykład:

      $$2 1/3+ 1 1/3= 2 + 1/3+ 1 + 1/3= 3 + 2/3= 3 2/3$$
       
  4. Dodawanie liczb mieszanych, których składniki ułamkowe mają różne mianowniki.

    • I sposób – zamieniamy liczby mieszane na ułamki niewłaściwe, następnie sprowadzamy je do wspólnego mianowniku, a potem wykonujemy dodawanie.

      $$2 1/3+ 1 1/2= {2•3+1}/3+{1•2+1}/2=7/3+3/2={7•2}/{3•2}+{3•3}/{2•3}={14}/6 + 9/6={23}/6=3 5/6$$
       
    • II sposób – oddzielnie dodajemy składniki całkowite i oddzielnie składniki ułamkowe, które musimy najpierw sprowadzić do wspólnego mianownika.

      Przykład:

      $$2 1/3+ 1 1/2= 2 + 1/3+ 1 + 1/2= 3 + 1/3+ 1/2= 3 + {1•2}/{3•2}+ {1•3}/{2•3}= 3 + 2/6+ 3/6= 3 + 5/6= 3 5/6$$
 
Zamiana ułamka dziesiętnego na zwykły

Licznikiem ułamka zwykłego jest liczba naturalna jaką utworzyłyby cyfry ułamka dziesiętnego, gdyby nie było przecinka, mianownikiem jest liczba zbudowana z cyfry 1 i tylu zer, ile cyfr po przecinku zawiera ułamek dziesiętny.

Przykłady:

  • $$0,25 = {25}/{100}$$ ← licznikiem ułamka zwykłego jest liczba 25 (ponieważ taką liczbę tworzą cyfry ułamka dziesiętnego bez przecinka), mianownikiem ułamka zwykłego jest liczba zbudowana z 1 oraz z dwóch zer, czyli liczba 100, ponieważ dwie cyfry stoją po przecinku,

  • $$4,305={4305}/{1000}$$ ← licznikiem ułamka zwykłego jest liczba 4305 (ponieważ taką liczbę tworzą cyfry ułamka dziesiętnego bez przecinka), mianownikiem ułamka zwykłego jest liczba zbudowana z 1 oraz z trzech zer, czyli liczba 1000, ponieważ trzy cyfry stoją po przecinku.

Zobacz także
Ostatnie 7 dni na Odrabiamy w liczbach...
ROZWIĄZALIŚMY0ZADAŃ
zadania
wiadomości
ODPOWIEDZIELIŚMY NA0WIADOMOŚCI
NAPISALIŚCIE0KOMENTARZY
komentarze
... i0razy podziękowaliście
Autorom