Dowolna funkcja liniowa jest dana równaniem:

$f\left(x\right)=ax+b,a,b\in R$  

 

$a)\text{Dla}x\in \left(-\infty ,-2\right]$  

$\{\begin{array}{l}f\left(-4\right)=0\\ f\left(-2\right)=-1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-4a+b=0\\ -2a+b=-1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}b=4a\\ b=2a-1\end{array}$  

Stąd

$4a=2a-1$  

$2a=-1$  

$a=-\frac{1}{2}$  

Czyli

$b=2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)-1=-1-1=-2$  

A więc:

$f\left(x\right)=-\frac{1}{2}x-2,\text{dla}x\in \left(-\infty ,-2\right]$   

 

$\text{Dla}x\in \left(-2,1\right]$  

$\{\begin{array}{l}f\left(-2\right)=-1\\ f\left(1\right)=5\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-2a+b=-1\\ a+b=5\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}b=2a-1\\ b=-a+5\end{array}$  

Stąd

$2a-1=-a+5$  

$3a=6$  

$a=2$  

Czyli

$b=2\cdot 2-1=4-1=3$  

A więc:

$f\left(x\right)=2x+3,\text{dla}x\in \left(-2,1\right]$   

 

$\text{Dla}x\in \left(1,\infty \right)$  

$\{\begin{array}{l}f\left(1\right)=5\\ f\left(6\right)=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a+b=5\\ 6a+b=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a+b=5\\ b=-6a\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a-6a=5\\ b=-6a\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-5a=5\\ b=-6a\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a=-1\\ b=6\end{array}$  

Czyli

$f\left(x\right)=-x+6,\text{dla}x\in \left(1,\infty \right)$  

 

Zapiszmy to w postaci restrykcji:

$f\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}-\frac{1}{2}x-2& \text{dla}x\in \left(-\infty ,-2\right]\\ 2x+3& \text{dla}x\in \left(-2,1\right]\\ -x+6& \text{dla}x\in \left(1,\infty \right)\end{array}$  

 

b) Wszystko poniżej osi x odbijamy symetrycznie względem tej osi.