Promień tworzy wraz ze styczną kąt prosty, zatem:

 

Trapez S₁PKS₂ jest trapezem prostokątnym.

$\left|\angle P{S}_{1}M\right|+\left|\angle M{S}_{2}K\right|={180}^o$  

 

Trójkąty S1PM i MKS2 są równoramienne, zatem:

$\left|\angle MP{S}_1\right|=\left|\angle S_{1}MP\right|=\alpha$

$\left|\angle KM{S}_2\right|=\left|\angle S_{2}KM\right|=\beta$    

Czyli:

$\left|\angle P{S}_{1}M\right|+\left|\angle M{S}_{2}K\right|={180}^o$  

${180}^o-2\alpha +{180}^o-2\beta ={180}^o$   

$-2\alpha -2\beta =-{180}^o$  

$\alpha +\beta ={90}^o$  

Stąd:

$\alpha +\left|\angle PMK\right|+\beta ={180}^o$  

$\left|\angle PMK\right|+{90}^o={180}^o$  

$\left|\angle PMK\right|={90}^o$