$\text{a)}{\log }_{\sqrt{2}}\left(x+1\right)=2$  

Zał:

$x+1>0$  

$x>-1$  

 

${\log }_{\sqrt{2}}\left(x+1\right)=2$  

Rozpisujemy równanie korzystając z def. logarytmu:

${\left(\sqrt{2}\right)}^2=x+1$  

$2=x+1$  

$x=1$  

Sprawdzamy, czy otrzymana liczba spełnia równanie:

${\log }_{\sqrt{2}}2=2,\text{OK, poniewaz˙}{\left(\sqrt{2}\right)}^2=2$   

$\underline{}$  

$\text{b)}{\log }_{\frac{1}{4}}\left(x-3\right)=-2$  

Zał:

$x-3>0$  

$x>3$  

 

${\log }_{\frac{1}{4}}\left(x-3\right)=-2$  

Rozpisujemy równanie korzystając z def. logarytmu:

${\left(\frac{1}{4}\right)}^{-2}=x-3$   

$4^2=x-3$  

$16=x-3$  

$x=19$  

Sprawdzamy, czy otrzymana liczba spełnia równanie:

${\log }_{\frac{1}{4}}16=-2\text{OK, poniewaz˙}{\left(\frac{1}{4}\right)}^{-2}=4^2=16$    

$\underline{}$   

$\text{c)}\log x+2=1$  

Zał:

$x>0$  

 

$\log x+2=1$  

$\log x=-1$  

Rozpisujemy równanie korzystając z def. logarytmu:

${10}^{-1}=x$  

$x=\frac{1}{10}$  

Sprawdzamy, czy otrzymana liczba spełnia równanie:

$\log \left(\frac{1}{10}\right)+2=1\text{OK, poniewaz˙}-1+2=1$  

$\underline{}$   

$\text{d)}{\log }_{4}x+3=5$   

Zał:

$x>0$  

 

${\log }_{4}x+3=5$   

${\log }_{4}x=2$    

Rozpisujemy równanie korzystając z def. logarytmu:

$4^2=x$  

$x=16$   

Sprawdzamy, czy otrzymana liczba spełnia równanie:

${\log }_{4}16+3=5\text{OK, poniewaz˙}2+3=5$   

$\underline{}$   

$\text{e)}\log x+\log 10=2$    

Zał:

$x>0$  

 

$\log x+1=2$   

$\log x=1$    

Rozpisujemy równanie korzystając z def. logarytmu:

${10}^1=x$  

$x=10$    

Sprawdzamy, czy otrzymana liczba spełnia równanie:

$\log 10+\log 10=2\text{OK, poniewaz˙}1+1=2$    

$\underline{}$   

$\text{f)}{\log }_{3x}3+{\log }_{3x}9=1$     

Zał:

$3x>0$  

$x>0$  

oraz

$3x\ne 1$

$x\ne \frac{1}{3}$

 

Korzystamy z tw:

${\log }_{3x}\left(3\cdot 9\right)=1$    

${\log }_{3x}27=1$     

Rozpisujemy równanie korzystając z def. logarytmu:

${\left(3x\right)}^1=27$   

$x=9$     

Sprawdzamy, czy otrzymana liczba spełnia równanie:

${\log }_{27}3+{\log }_{27}9=1\text{OK, poniewaz˙}\frac{1}{3}+\frac{2}{3}=1$