Oblicz.- Zadanie 7: MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

Rozwiązanie

$a) lo g_{0, 5} (lo g_{22} 8)$

Obliczmy wpierw logarytm w logarytmie:

$lo g_{22} 8 = x$

Z definicji logarytmu:

$(22)^{x} = 8$

$(2 \cdot 2^{\frac{1}{2}})^{x} = 2^{3}$

$(2^{\frac{3}{2}})^{x} = 2^{3}$

$2^{\frac{3}{2} x} = 2^{3}$

$\frac{3}{2} x = 3$

$x = 3 \cdot \frac{2}{3}$

$x = 2$

Zatem:

$lo g_{\frac{1}{2}} 2 = - 1$

$b) lo g_{2} (lo g_{4} 42)$

Obliczymy wpierw logarytm w logarytmie:

$lo g_{4} 42 = x$

Z definicji logarytmu:

$4^{x} = 42$

$(2^{2})^{x} = 2^{\frac{1}{4}}$

$2^{2 x} = 2^{\frac{1}{4}}$

$2 x = \frac{1}{4}$

$x = \frac{1}{8}$

$lo g_{2} (\frac{1}{8}) = - 3$

$c) lo g_{4} (3 + lo g_{2} 32) = lo g_{4} (lo g_{2} 8 + lo g_{2} 32) = lo g_{4} (lo g_{2} (8 \cdot 32)) = lo g_{4} (lo g_{2} 2^{8}) = lo g_{4} 8$

A więc:

$lo g_{4} 8 = x$

Z definicji logarytmu:

$4^{x} = 8$

$(2^{2})^{x} = 2^{3}$

$2^{2 x} = 2^{3}$

$2 x = 3$

$x = \frac{3}{2}$

$d) lo g_{0, 04} (100 + lo g_{9} (3^{50})) = lo g_{0, 04} (100 + lo g_{9} ((9^{\frac{1}{2}})^{50})) = lo g_{0, 04} (100 + lo g_{9} 9^{25}) = lo g_{\frac{1}{25}} (100 + 25) = lo g_{\frac{1}{25}} 125$

A więc:

$lo g_{\frac{1}{25}} 125 = x$

Z definicji logarytmu:

$(\frac{1}{25})^{x} = 125$

$(5^{- 2})^{x} = 5^{3}$

$5^{- 2 x} = 5^{3}$

$- 2 x = 3$

$x = - \frac{3}{2}$

$e) lo g_{8} (6 + lo g_{2} (\frac{1}{2})) = lo g_{8} (6 - 2) = lo g_{8} 4 = lo g_{8} (64^{\frac{1}{3}}) = lo g_{8} ((8^{2})^{\frac{1}{3}}) = lo g_{8} (8^{\frac{2}{3}}) = \frac{2}{3}$

$f) lo g_{0, 1} (lo g_{2} 4^{30} + lo g_{2} 16^{10}) = lo g_{0, 1} (lo g_{2} (2^{2})^{30} + lo g_{2} (2^{4})^{10}) = lo g_{0, 1} (lo g_{2} 2^{60} + lo g_{2} 2^{40}) =$

$lo g_{0, 1} (lo g_{2} (2^{60} \cdot 2^{40})) = lo g_{0, 1} (lo g_{2} (2^{100})) = lo g_{0, 1} 100 = - 2$

$g) lo g_{\frac{2}{2}} (2 lo g_{6} 3 + lo g_{6} 4) = lo g_{\frac{2}{2}} (lo g_{6} 9 + lo g_{6} 4) = lo g_{\frac{2}{2}} (lo g_{6} 36) = lo g_{\frac{2}{2}} 2$

A więc:

$lo g_{\frac{2}{2}} 2 = x$

Z definicji logarytmu:

$(\frac{2}{2})^{x} = 2$

$(2^{\frac{1}{2} - 1})^{x} = 2$

$(2^{- \frac{1}{2}})^{x} = 2$

$2^{- \frac{1}{2} x} = 2^{1}$

$- \frac{1}{2} x = 1$

$x = - 2$

$h) lo g_{\frac{1}{6}} (lo g_{2} 80 - lo g_{2} 10) = lo g_{\frac{1}{6}} (lo g_{2} (\frac{80}{10})) = lo g_{\frac{1}{6}} (lo g_{2} 8) = lo g_{\frac{1}{6}} 6 = - 1$

Ernest Jamka

Nauczyciel matematyki

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.