$\text{a)}{\log }_{a+3}16=2$  

Wyliczmy dla jakich a wyrażenie ma sens:

$a+3>0\wedge a+3\ne 1$  

$a>-3\wedge a\ne -2$  

$a\in \left(-3,\infty \right)\backslash \left\{-2\right\}$  

 

Z definicji logarytmu:

${\left(a+3\right)}^2=16$  

$a^2+6a+9=16$  

$a^2+6a-7=0$  

$a^2-a+7a-7=0$  

$a\left(a-1\right)+7\left(a-1\right)=0$  

$\left(a-1\right)\left(a+7\right)=0$  

$a=1\vee a=-7$  

Wybierzmy te rozwiązania, które wpadają w dziedzinę wyrażenia:

$a=1$  

---

$\text{b)}{\log }_{1-a}36=2$  

Wyliczmy dla jakich a wyrażenie ma sens:

$1-a>0\wedge 1-a\ne 1$  

$1>a\wedge -a\ne 0$  

$a\in \left(-\infty ,1\right)\backslash \left\{0\right\}$  

 

Z definicji logarytmu:

${\left(1-a\right)}^2=26$  

$1-2a+a^2=36$  

$a^2-2a-35=0$  

$a^2-7a+5a-35=0$  

$a\left(a-7\right)+5\left(a-7\right)=0$  

$\left(a-7\right)\left(a+5\right)=0$  

$a=7\vee a=-5$  

Wybierzmy te rozwiązania, które wpadają w dziedzinę wyrażenia:

$a=-5$  

---

$\text{c)}{\log }_{|a-4|}6=1$  

Wyliczmy dla jakich a wyrażenie ma sens:

$\left|a-4\right|>0\wedge \left|a-4\right|\ne 1$  

$a\ne 4\wedge a-4\ne 1\wedge a-4\ne -1$  

$a\ne 4\wedge a\ne 5\wedge a\ne 3$  

$a\in \mathbb{R}\backslash \left\{3,4,5\right\}$  

 

Z definicji logarytmu:

${\left(\left|a-4\right|\right)}^1=6$  

$\left|a-4\right|=6$  

$a-4=6\vee a-4=-6$  

$a=10\vee a=-2$  

Wybierzmy te rozwiązania, które wpadają w dziedzinę wyrażenia:

$a=-2\vee a=10$  

---

$\text{d)}{\log }_{|a+7|}0,125=-3$  

Wyliczmy dla jakich a wyrażenie ma sens:

$\left|a+7\right|>0\wedge \left|a+7\right|\ne 1$  

$a+7\ne 0\wedge a+7\ne 1\wedge a+7\ne -1$  

$a\ne -7\wedge a\ne -6\wedge a\ne -8$  

$a\in \mathbb{R}\backslash \left\{-8,-7,-6\right\}$  

 

Z definicji logarytmu:

${\left(\left|a+7\right|\right)}^{-3}=\frac{1}{8}$  

$\frac{1}{{\left(\left|a+7\right|\right)}^3}=\frac{1}{8}$  

${\left(\left|a+7\right|\right)}^3=8$  

$\left|a+7\right|=2$  

$a+7=2\vee a+7=-2$  

$a=-5\vee a=-9$  

Wybierzmy te rozwiązania, które wpadają w dziedzinę wyrażenia:

$a=-9\vee a=-5$