Oznaczmy zdarzenie:

$A-\text{z trzeciej urny wylosowano białą kulę}$  

Narysujmy drzewko i zaznaczmy gałęzie opisujące zdarzenie A.

 

$P\left(A\right)=\frac{k}{n}\cdot \frac{k+1}{n+1}\cdot \frac{k+2}{n+2}+\frac{k}{n}\cdot \frac{n-k}{n+1}\cdot \frac{k+1}{n+2}+\frac{n-k}{n}\cdot \frac{k}{n+1}\cdot \frac{k+1}{n+2}+\frac{n-k}{n}\cdot \frac{n-k+1}{n+1}\cdot \frac{k}{n+2}=$   

Wyciągnęliśmy wspólne mianowniki przed nawias. W kolejnym kroku w nawiasie kwadratowym wyciągniemy przed nawias z pierwszych dwóch składników k(k+1), a z ostatnich dwóch (n-k)k.

$=\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{n+1}\cdot \frac{1}{n+2}\cdot \left[\underline{k\left(k+1\right)}\left(k+2\right)+\underline{k}\left(n-k\right)\underline{\left(k+1\right)}+\underline{\underline{\left(n-k\right)k}}\left(k+1\right)+\underline{\underline{\left(n-k\right)}}\left(n-k+1\right)\underline{\underline{k}}\right]=$     

$=\frac{1}{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\cdot \left[k\left(k+1\right)\cdot \left\{k+2+n-k\right\}+\left(n-k\right)k\cdot \left\{k+1+n-k+1\right\}\right]=$

Ze składników w nawiasie wyciągamy przed nawias wspólne czynniki k(n+2)

$=\frac{1}{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\cdot \left[\underline{k}\left(k+1\right)\underline{\left(n+2\right)}+\left(n-k\right)\underline{k\left(n+2\right)}\right]=$

  $=\frac{1}{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\cdot \left[k\left(n+2\right)\cdot \left\{k+1+n-k\right\}\right]=$

  $=\frac{1}{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\cdot \left[k\left(n+2\right)\left(n+1\right)\right]=$

  $=\frac{k\left(n+2\right)\left(n+1\right)}{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}=\frac{k}{n}$        

 

Uwaga 

Powyższe przekształcenia są "sprytne" - bazują na wyciąganiu przed nawias. Można także wykonać obliczenia w standardowy sposób - wykonując mnożenie oraz redukując wyrazy podobne, co zaprezentujemy poniżej.

$P\left(A\right)=\frac{k}{n}\cdot \frac{k+1}{n+1}\cdot \frac{k+2}{n+2}+\frac{k}{n}\cdot \frac{n-k}{n+1}\cdot \frac{k+1}{n+2}+\frac{n-k}{n}\cdot \frac{k}{n+1}\cdot \frac{k+1}{n+2}+\frac{n-k}{n}\cdot \frac{n-k+1}{n+1}\cdot \frac{k}{n+2}=$  

$=\frac{k\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}+\frac{k\left(n-k\right)\left(k+1\right)}{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}+\frac{\left(n-k\right)k\left(k+1\right)}{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}+\frac{\left(n-k\right)\left(n-k+1\right)k}{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}=$   

$=\frac{\left(k^2+k\right)\left(k+2\right)}{\left(n^2+n\right)\left(n+2\right)}+\frac{\left(nk-k^2\right)\left(k+1\right)}{\left(n^2+n\right)\left(n+2\right)}+\frac{\left(nk-k^2\right)\left(k+1\right)}{\left(n^2+n\right)\left(n+2\right)}+\frac{\left(n^2-nk+n-nk+k^2-k\right)k}{\left(n^2+n\right)\left(n+2\right)}=$   

$=\frac{k^3+2k^2+k^2+2k}{n^3+2n^2+n^2+2n}+\frac{n{k}^2+nk-k^3-k^2}{n^3+2n^2+n^2+2n}+\frac{n{k}^2+nk-k^3-k^2}{n^3+2n^2+n^2+2n}+\frac{n^{2}k-n{k}^2+nk-n{k}^2+k^3-k^2}{n^3+2n^2+n^2+2n}=$  

$=\frac{k^3+3k^2+2k}{n^3+3n^2+2n}+\frac{n{k}^2+nk-k^3-k^2}{n^3+3n^2+2n}+\frac{n{k}^2+nk-k^3-k^2}{n^3+3n^2+2n}+\frac{n^{2}k-2n{k}^2+nk+k^3-k^2}{n^3+3n^2+2n}=$    

$=\frac{k^3+3k^2+2k+n{k}^2+nk-k^3-k^2+n{k}^2+nk-k^3-k^2+n^{2}k-2n{k}^2+nk+k^3-k^2}{n^3+3n^2+2n}=$  

$=\frac{k{n}^2+3kn+2k}{n^3+3n^2+2n}=\frac{k\left(n^2+3n+2\right)}{n\left(n^2+3n+2\right)}=\frac{k}{n}$