a) rozwiązane w ćwiczeniach

---

$\text{b)}$   

$a_n=\frac{n^2}{2}$  

$a_{n+1}=\frac{{\left(n+1\right)}^2}{2}=\frac{n^2+2n+1}{2}$  

 

$a_{n+1}-a_n=\frac{n^2+2n+1}{2}-\frac{n^2}{2}=\frac{n^2+2n+1-n^2}{2}=\frac{2n+1}{2}>0\text{dla}n\in N_{+}$  

Ciąg jest rosnący

---

$\text{c)}$  

$a_n=-\frac{2n}{n^2+1}$  

$a_{n+1}=-\frac{2\left(n+1\right)}{{\left(n+1\right)}^2+1}=-\frac{2n+2}{n^2+2n+1+1}=-\frac{2n+2}{n^2+2n+2}$  

 

$a_{n+1}-a_n=-\frac{2n+2}{n^2+2n+2}-\left(-\frac{2n}{n^2+1}\right)=$  

$=-\frac{\left(2n+2\right)\left(n^2+1\right)}{\left(n^2+2n+2\right)\left(n^2+1\right)}+\frac{2n\left(n^2+2n+2\right)}{\left(n^2+2n+2\right)\left(n^2+1\right)}=$  

$=\frac{-\left(2n^3+2n+2n^2+2\right)+2n^3+4n^2+4n}{\left(n^2+2n+2\right)\left(n^2+1\right)}=$  

$=\frac{-2n^3-2n-2n^2-2+2n^3+4n^2+4n}{\left(n^2+2n+2\right)\left(n^2+1\right)}=\frac{2n^2+2n-2}{\left(n^2+2n+2\right)\left(n^2+1\right)}$  

Mianownik jest stale większy od zera dla dowolnego n, sprawdźmy czy licznik też jest stale większy od zera.

$2n^2+2n-2>0$  

$n^2+n-1>0$  

$\Delta =1-4\cdot \left(-1\right)=1+4=5$  

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{5}$  

$n_1=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}=-\frac{1+\sqrt{5}}{2}<-1$  

$n_2=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}<1$  

 

A więc ciąg jest rosnący, gdyż:

$a_{n+1}-a_n>0\text{dla}n>1$