a)

$d^2={10}^2+6^2-2\cdot 10\cdot 6\cdot \cos {60}^o$  

$d^2=100+36-120\cdot \frac{1}{2}$  

$d^2=136-60$  

$d^2=76$  

$d=\sqrt{76}$  

---

b)

$\text{Obw}=16\left[\text{cm}\right]$  

$a=4\left[\text{cm}\right]$  

Niech  $\alpha$  oznacza kąt ostry rombu, a  $\beta$  kąt rozwarty rombu.

Wiemy, że  $\cos \beta =-\frac{1}{8}$  

$e^2=4^2+4^2-2\cdot 4\cdot 4\cdot \left(-\frac{1}{8}\right)$  

$e^2=16+16-32\cdot \left(-\frac{1}{8}\right)$  

$e^2=32+4$  

$e^2=36$  

$e=6$  

 

$P=\frac{e\cdot f}{2}$  

$P=\frac{6\cdot f}{2}$  

$P=3f$  

 

Zauważmy, że pole tego rombu to pole dwóch trójkątów

$P=2\cdot \frac{1}{2}\cdot 4\cdot 4\cdot \sin \beta$  

$P=16\sin \beta$   

Korzystając z jedynki trygonometrycznej możemy obliczyć  $\sin \beta$  

${\sin }^2\beta +{\cos }^2\beta =1$  

${\sin }^2\beta +{\left(-\frac{1}{8}\right)}^2=1$  

${\sin }^2\beta +\frac{1}{64}=1$  

${\sin }^2\beta =\frac{63}{64}$  

$\sin \beta =\frac{\sqrt{63}}{8}$  

$\sin \beta =\frac{3\sqrt{7}}{8}$  

 

$P=16\cdot \frac{3\sqrt{7}}{8}=6\sqrt{7}$  

Wobec tego  $3f=6\sqrt{7}$  

$f=2\sqrt{7}$  

---

c)

$a+3a+a+3a=16$  

$8a=16$  

$a=2$  

 

$3a=3\cdot 2$  

$3a=6$  

 

$\alpha +2\alpha ={180}^o$  

$3\alpha ={180}^o\mid :3$  

$\alpha ={60}^o$  

Kąt ostry tego równoległoboku ma miarę  ${60}^o$  , a kąt rozwarty  ${120}^o$  .

 

$e^2=2^2+6^2-2\cdot 2\cdot 6\cdot \cos {60}^o$  

$e^2=4+36-24\cdot \frac{1}{2}$  

$e^2=40-12$  

$e^2=28$  

$e=\sqrt{28}$  

$e=2\sqrt{7}$  

 

$f^2=2^2+6^2-2\cdot 2\cdot 6\cdot \cos {120}^o$  

$f^2=4+36-24\cdot \cos \left({90}^o+{30}^o\right)$  

$f^2=40-24\cdot \left(-\sin {30}^o\right)$  

$f^2=40-24\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$  

$f^2=40+12$  

$f^2=52$  

$f=\sqrt{52}$  

$f=2\sqrt{13}$