a)

Jeśli jest to trójkąt prostokątny równoramienny, to jego boki mają długość  $a,a,a\sqrt{2}$   (trójkąt charakterystyczny o kątach  ${45}^o,{45}^o,{90}^o)$  

$P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot a=\frac{1}{2}{a}^2$  

$abc=a\cdot a\cdot a\sqrt{2}=a^3\sqrt{2}$  

 

$R=\frac{abc}{4P}=\frac{a^3\sqrt{2}}{4\cdot \frac{1}{2}{a}^2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$         

$5=\frac{a\sqrt{2}}{2}\mid \cdot 2$  

$10=a\sqrt{2}\mid :\sqrt{2}$  

$\frac{10}{\sqrt{2}}=a$  

$\frac{10\sqrt{2}}{2}=a$  

$5\sqrt{2}=a$  

 

$\text{Obw}=a+a+a\sqrt{2}=5\sqrt{2}+5\sqrt{2}+5\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=10\sqrt{2}+10$  

---

b)

Boki mają długość  $a,3a,c$  

Korzystając z tw. Pitagorasa:

$a^2+{\left(3a\right)}^2=c^2$  

$a^2+9a^2=c^2$  

$10a^2=c^2$  

$\sqrt{10}a=c$  

 

$P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot 3a=\frac{3}{2}{a}^2$  

$abc=a\cdot 3a\cdot \sqrt{10}a=3\sqrt{10}{a}^3$  

 

$R=\frac{abc}{4P}=\frac{3\sqrt{10}{a}^3}{4\cdot \frac{3}{2}{a}^2}=\frac{3\sqrt{10}a}{6}=\frac{\sqrt{10}a}{2}$  

$5=\frac{\sqrt{10}a}{2}\mid \cdot 2$  

$10=\sqrt{10}a\mid :\sqrt{10}$  

$\frac{10}{\sqrt{10}}=a$  

$\frac{10\sqrt{10}}{10}=a$  

$\sqrt{10}=a$  

 

$\text{Obw}=a+3a+c=\sqrt{10}+3\sqrt{10}+\sqrt{10}\cdot \sqrt{10}=4\sqrt{10}+10$