$\text{a)}$  

Podstawą graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest sześciokąt foremny.

Każdy sześciokąt foremny o boku a można podzielić na 6 jednakowych trójkątów równobocznych o boku a:

Pole sześciokąta foremnego o boku a jest więc dane wzorem:

$P={\sout{6}}^3\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{{\sout{4}}^2}=\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$  

 

Obliczamy pole podstawy graniastosłupa:

$P_p=\frac{3\cdot {12}^2\sqrt{3}}{2}=\frac{3\cdot {\sout{144}}^{72}\sqrt{3}}{{\sout{2}}^1}=216\sqrt{3}\left[c{m}^2\right]$

 

Obliczamy objętość:

$V=216\sqrt{3}\cdot 15=3240\sqrt{3}\left[c{m}^3\right]$  

---

$\text{b)}$  

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczmy, jaką długość ma druga przyprostokątna tego trójkąta:

$7^2+x^2={13}^2$  

$49+x^2=169\mid -49$  

$x^2=120$  

$x=\sqrt{120}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{30}=2\sqrt{30}\left[cm\right]$  

 

Obliczamy pole podstawy:

$P_p=\frac{1}{{\sout{2}}^1}\cdot {\sout{2}}^1\sqrt{30}\cdot 7=7\sqrt{30}\left[c{m}^2\right]$  

 

Obliczamy objętość:

$V=7\sqrt{30}\cdot 25=175\sqrt{30}\left[c{m}^3\right]$