$\text{a)}$  

Mianownik musi być różny od 0 a więc:

$6-x\ne 0$

$x\ne 6$   

Dziedzina:

$D=R\backslash \left\{6\right\}$   

 

Obliczmy miejsce zerowe funkcji czyli x dla których wartość wynosi 0.

$f\left(x\right)=0$   

$\frac{x}{6-x}=0$  

$x=0$  

Zbiór miejsc zerowych:

$M_z=\left\{0\right\}$  

---

$\text{b)}f\left(x\right)=\frac{x+3}{x}$  

$x\ne 0$  

Dziedzina:

$D=R\backslash \left\{0\right\}$  

 

Obliczmy miejsce zerowe funkcji:

$f\left(x\right)=0$  

$\frac{x+3}{x}=0$

$x+3=0$  

$x=-3$  

$M_z=\left\{-3\right\}$  

---

$\text{c)}f\left(x\right)=\frac{4x^2-1}{x-2}$  

$x-2\ne 0$  

$x\ne 2$  

 

$D=R\backslash \left\{2\right\}$  

 

Obliczmy miejsce zerowe funkcji:

$f\left(x\right)=0$  

$\frac{4x^2-1}{x-2}=0$  

$4x^2-1=0$

$4x^2=1$   

$x^2=\frac{1}{4}$  

$\left|x\right|=\frac{1}{2}$  

$x=\frac{1}{2}\vee x=-\frac{1}{2}$  

$M_z=\left\{-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right\}$  

---

$\text{d)}f\left(x\right)=\frac{x^2-4}{x+2}$  

$x+2\ne 0$  

$x\ne -2$  

$D=R\backslash \left\{-2\right\}$  

 

Miejsca zerowe:

$f\left(x\right)=0$  

$\frac{x^2-4}{x+2}=0$  

$x^2-4=0$  

$x^2=4$  

$x=2\in D\vee x=-2\notin D$  

$M_z=\left\{2\right\}$  

---

$\text{e)}f\left(x\right)=\frac{x^2-1}{x^2+1}$  

Dziedziną są wszystkie liczby rzeczywiste gdyż mianownik jest stale większy od 0.

$D=R$  

 

Miejsca zerowe:

$f\left(x\right)=0$  

$\frac{x^2-1}{x^2+1}=0$  

$x^2-1=0$  

$\left(x-1\right)\left(x+1\right)=0$  

$x_1=1\vee x_2=-1$  

 

$M_z=\left\{-1,1\right\}$  

---

$\text{f)}f\left(x\right)=\frac{x^2+1}{x^2-1}$  

Dziedzina:

$x^2-1\ne 0$  

$\left(x-1\right)\left(x+1\right)\ne 0$  

$x\ne 1\wedge x\ne -1$  

 

$D=R\backslash \left\{-1,1\right\}$  

 

Miejsca zerowe:

$f\left(x\right)=0$  

$\frac{x^2+1}{x^2-1}=0$  

$x^2+1=0$  

$x^2=-1$  

Równanie jest sprzeczne, więc funkcja nie ma miejsc zerowych.